Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Я ~ 4 / * 2
г* тг* ) mrz
о
+¦
Так как, согласно равенству (3.34), в установившемся движении с2 =
fim2r0, то будем иметь
1 т { 1 \
W - ТК0 = -у р - я2 + 02J +. • •
Из этого выражения видно, что функция W имеет в стационарном движении
минимум. Кроме того, для всякого г0 ф 0 решение (3.34) непрерывно зависит
от постоянной с интеграла (3.31). Поэтому на основании теоремы Рауса и
дополнения Ляпунова стационарное движение спутника устойчиво относительно
с, г, 0, 0 и ф.
Пример 3. Устойчивость регулярной прецессии тяжелого гироскопа.
Рассмотрим симметричное твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О и
движущееся под действием силы тяжести. Положение оси симметрии z тела
будем определять углом прецессии ф и углом нутации 6; угол собственного
вращения обозначим через ф (рис. 3.3). Кинетическая Т и потенциальная П
энергии такого тела определяются равенствами
1 1 г = ~2 Jx ("1 + го(r)) + ~2 J ш2. П = Mgh cos 0,
§ S.5. ПРИМЕРЫ
93
где Jx = Jy и Jz - моменты инерции тела относительно осей Ре-заля х, у,
г, а со*, Шу, шг - проекции угловой скорости тела на те я?е оси, М -
масса тела, h -• расстояние от его центра тяжести до точки опоры.
Пользуясь рис. 3.4, легко найдем
= - ф sin 0,
С02 = ф + ф cos I
Внося эти выражения для ых, му, oiz в кинетическую энергию Т, получим
^
Т =
1 х (02 + siu2 6ф2) + ~2 Jг (ф + cos 0ф)2
Так как координаты ф и г|? входят в кинетическую энергию Т только через
свои скорости ф и ф, а потенциальная энергия П от них
Рис. 3.3
Рис. 3.4
не зависит, то эти координаты циклические, а 0 - позиционная. Циклическим
координатам соответствуют два первых интеграла
дТ
= h (ф + cos 0ф) = 1гп,
дТ
дф
(3.37)
¦г- = 1 sin2 0ф + / (ф -f- cos 0ф) cos Q - m,
,U Л i
где Jzn mm - постоянные интегрирования (множитель Jz введен для
удобства).
Эти интегралы выражают постоянство кинетического момента относительно
осей z и ? соответственно. Из равенств (3.37) найдем циклические скорости
m - Jzn cos 0 m - Jzn cos 0
^ = ] sin2 0 ' Ф = re - i sina n cos 0-
Внесем найденные значения ф и ф в кинетическую энергию. После очевидных
преобразований получим
1 (m - lzn cos 0)2 1
94 гл. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Пользуясь формулой (3.12), составим функцию Рауса (в рассматриваемом
случае cl = Jгп и с2 = от):
. ' 1 . 1 (от - Jzti cos 0)2
R - Т* 12пц> - отф = т /ж02 + -у T^sin20 -------------
Jzn
m - J2п cos 0 n ~ J x sin2 0 cos 6
m - Jzn cos 0 sin2 0
или, группируя члены и отбрасывая несущественную постоянную
1 . 1 (от - J гп COS 0)2
К ~2 - ~2 jх sin2 0 •
Сравнивая с равенством (3.14), найдем
1 " 1 (m - Jzn cos 0)2
Л2 = -j- /х02, /?! = 0, До = -"2 Jxsin20 '
Составим далее потенциальную энергию JE = П - Д0 приведенной системы
TF = Л/gli cos 0 + -р-
1 (от - /zre cos 0)2
2 Jx sin2 0
и напишем условие осуществимости стационарного движения (3.24): /дЦ:\
п , (т - COS 0О) (J2n - от cos 0О) п /п
^Щ, = _л**А8ш0(> +------------------0О--------------------=°- (3-38)
Считая известными постоянные от и п, из этого уравнения легко найти угол
0 = 0О. Для этого достаточно представить данное уравнение в следующей
форме:
MghJx cos4 0О - (MghJx + Jгпт) cos2 0О +
+ (/zre2 + от2) cos 90 + MghJx - Jznm = 0. (3.39)
Это уравнение определяет семейство решений, зависящее от двух параметров
т. ж п. Для практических целей удобнее задавать просто начальные условия
при t = 0: 0 = 0О, 0 = 0, ф = ф0, ф = ф0.
Если теперь выразить постоянные интегрирования от и ге по формулам (3.37)
через эти*начальные условия, то уравнение (3.39) легко приводится к виду
Фи (Jx - Jz) COS 0О - Jгфофо + Mgh = 0.
Это равенство устанавливает связь между начальными условиями движения,
при которых осуществляется стационарное движение. Последнее состоит в
том, что гироскоп равномерно вращается с угловой скоростью ф = фо вокруг
оси симметрии z, а ось z равномерно вращается вокруг вертикальной оси ? с
угловой скоростью Ф = Фо, описывая круговой конус с углом раствора,
равным 20о (см. рис. 3.3). Такое движение называется регулярной
прецессией.
Исследуем устойчивость регулярной прецессии. Для этого полошим 0 = 0О +
х, внесем это в потенциальную энергию W при-
§ 3.5. ПРИМЕРЫ
95
веденной системы и разложим функцию W - W0 в ряд по степеням х:
/dw\ - 1 (sm
W _ iv - I -
W°-Ue /е=е"Л''
tf0a /е=I
где точками обозначены члены, содержащие х в степени выше второй. Первое
слагаемое на основании равенства (3.38) выпадает, а второе после
несложных преобразований приводится к виду
2 I зеа /е=е0 ж -
1 (т - Jzn cos 0о)а sin2 0о
• (J z(tm) + Jzn cos2 So - 2m cos 0o)a
2
sm"
Так как при всех значениях 0О, не равных 0 или л, коэффициент при х2
положителен, то функция W имеет в стационарном движении минимум. Кроме
того, для всех 0О, не равных 0 или я, решение уравнения (3.38) непрерывно
зависит от постоянных тип интегралов (3.37) (корни алгебраического
относительно cos 0О уравнения (3.39) непрерывно зависят от коэффициентов
уравнения). Поэтому на основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова
