Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 28

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 101 >> Следующая

после чего составим функцию Рауса по следующей - формуле:
В этом выражении циклические скорости должны быть заменены их значениями,
полученными из первых интегралов (3.11). Уравнения для позиционных
координат qj примут вид (предполагается, что силы, действующие на
систему, потенциальны; в противном случае в правой rrQCTH уравнений будут
стоят обобщенные силы Qj)
(3.10)
р> ^ 'зф~ = ci = const = (3.11)
m
(3.12)
Функция Рауса не содержит циклических координат Ф и скоростей ф, а
зависит только от qfc и r'ft. Поэтому движение в позиционных координатах
qj можно изучать
84 ГЛ. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
по уравнениям (3.13), как бы игнорируя циклические координаты (конечно,
до тех пор, пока рассматриваются одни уравнения (3.13)). В связи с этим
движение в циклических координатах называется скрытым движением, а
движение в позиционных координатах - явным движением.
Остановимся подробно на структуре функции Рауса. В результате всех
преобразований, связанных с построением по формуле (3.12), в функции
Рауса R можно выделить слагаемое R2, содержащее позиционные скорости cj
во второй степени, слагаемое Rv содержащее позиционные скорости q в
первой степени, и слагаемое i?0, независящее от скоростей q:
R = R* + Ri + Ro, (3.14)
где
S JL
= (ЗЛ5) r= l fc=i
s
Ri= 2 "i<r (3.16)
j=l
В этих равенствах коэффициенты akj = ajk, aj, а также R0 - функции
позиционных координат qu . . ., qs и постоянных интегрирования cv . . .,
ст. Не останавливаясь на доказательстве (см., например, [38]), отметим,
что квадратичная форма Rz является определенно-положительной.
Внесем в уравнения (3.13) значение функции Рауса из формулы (3.14):
d д (R2 + Д1 + Др) д (R2 -f- R\ -f- Др) 5П
dt dq} dqi ~dqj '
Разбивая на отдельные слагаемые и учитывая, что Ra не
dRo г,
зависит от q и, следовательно, -щ- = U, получим после группировки
d dR2 dR2 дП , 8R0 ( d дйг dR^)
dt dq- dq. dqj dq} ( dt dq. dqj J ' ^ '
Пользуясь формулой (3.16) для Rlt преобразуем выражение, стоящее в
скобках. Имеем
§ 3.3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 85
Учитывая, что зависит от времени t сложным образом через дъ . . ., qs,
получим по правилам дифференцирования сложной функции
d dRj _ __ yi <^j_ .
dt difo dt / i dgj.
Заменим теперь в формуле (3.16) индекс суммирования / на к и
продифференцируем по q}:
дйг д V4 V1 дак •
3 3 К=1 к~1 3
Следовательно,
d дйх _ dRj_ _ у I да, _
dt dq. dq- ~ 2-i I dqk dq.
3 3 ft=i x 3 ' k=i
где так называемые гироскопические коэффициенты gjK определены
равенствами
да- дат.
Теперь уравнения (3.17)' приводятся к следующему виду:
d dR
R2 9R2 dW V~I . ,. . , ... .
dt дП ~ ~dqT ~ ёдГ (7 - 1> • • •, s), (3.19)
3 3 1 K-=l
где
W ±= П - R0. (3.20)
Уравнениям (3.19) можно отнести некоторую систему (она называется
приведенной системой), в которой функции i?2 и W служат кинетической и
потенциальной энергиями; обобщенные силы этой системы определяются
равенствами
^ = -1Г-(3-21) 3 "=1
причем 'Lgjkqk называются гироскопическими силами. Из определения
гироскопических коэффициентов gJk видно, что их матрица кососимметричная,
т. е.
gjk - - gkj- (3.22)
86
ГЛ. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
В этом легко убедиться, поменяв в формуле (3.18) местами индексы к и /.
Заметим, что при отсутствии гироскопических сил (это, как правило, бывает
при = 0) система называется гироскопически несвязанной. Основное свойство
гироскопических сил состоит в том, что сумма их работ на действительном
перемещении равна нулю. Это свойство лежит в основе их определения,
данного Томсоном и Тетом (см. [58]). Гироскопические силы встречаются не
только в системах с циклическими координатами (частный случай их -
системы, содержащие гироскопы), но и в различных других физических
системах (см. примеры § 6.7).
Из дифференциальных уравнений (3.19) приведенной системы легко получить
интеграл энергии
i?2 + W = i?2 + П - В0 = const. (3.23)
Этот интеграл может быть получен формальными методами, но физически он
очевиден - гироскопические силы, действующие на приведенную систему, не
производят работы и, следовательно, они не могут изменить общий баланс
энергии.
§ 3.4. Стационарное движение
и условия его устойчивости
При некоторых условиях материальная система, имеющая т циклических и s
позиционных координат, может совершать стационарное движение, которое
состоит в том, что все позиционные координаты и циклические скорости
сохраняют постоянные значения, равные начальным. Условия, при которых
осуществляется стационарное движение, легко получаются из следующих
очевидных соображений.
Согласно определению в стационарном движении, все позиционные координаты
сохраняют постоянное значение:
Чи (t) = quo = const (k = 1, • • •, *).
Это означает, что приведенная система находится в покое. Но для этого,
согласно равенствам (3.1), необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные
силы (3.21) этой системы равнялись нулю, т. е.
s 3.4. СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
87
или, учитывая, что в стационарном движении (равновесии нриведенной
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed