Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 32

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 101 >> Следующая

регулярная прецессия устойчива относительно 0, 0, ф и ф.
Пример 4. Устойчивость равновесного положения оси вращающегося
уравновешенного ротора, установленного в нелинейных опорах [26а].
Рассмотрим абсолютно жесткий уравновешенный ротор с вертикальной осью
вращения, установленный в жестко укрепленных на неподвижном основании
упругих подшипниках. Будем предполагать, что подшипники обладают в общем
случае нелинейной податливостью, в результате чего ось ротора может
перемещаться плоскопараллельно1). Собственное вращение происходит вокруг
оси''материальной симметрии (соответствующие центробежные моменты инерции
и эксцентриситет е равны нулю), реакции подшипников приводятся к одной
равнодействующей FB, зависящей от радиального перемещения р оси О ротора
и направленной к точке О] пересечения плоскости движения центра масс с
осью педе-формированных подшипников (рис.
3.5 - точки О ж С при е = 0 совпадают). Очевидно, что любая реакция F0
(р) должна обращаться в нуль при отсутствии деформации (р = 0) и в
области допустимых деформаций возрастать с увеличением р, т. е. для любой
реакции F0 (р) должны выполняться
Рис. 3.5
1) Этим условиям удовлетворяет также движущийся плоскопараллельно
уравновешенный ротор, укрепленный на безынерционном гибком валу,
установленном в жестких вертикальных опорах.
96
ГЛ. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
условия
Я>(0) = 0, -^г>0 (Р> 0). (3.40)
кроме того, производная dFjdp должна быть ограничена при р = 0, а
производная cFFldp2 - непрерывна в тех же пределах.
Этим условиям удовлетворяют, в частности, линейная реакция Fu = ср,
нелинейные жесткие или мягкие реакции вида Р0 = = ср + Ьр2 + ар3, реакции
F0 = а0р" (а > 1) и др. Заметим, что для шариковых подшипников
большинство авторов принимает F0 - а0р", где а = 3/2 (формула Герца).
Очевидно, что потенциальная анергия упругой реакции
р
п (р) = § Fo (Р) d9
с
в положении равновесия (р = 0) имеет изолированный минимум (П (0) = 0 и П
(р) > 0 при р > 0).
В сделанных предположениях о материальной симметрии оси ротора движение
центра масс и вращательное движение не зависят друг от друга и их можно
изучать раздельно.
Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесного положения оси вращающегося
ротора (р = 0), сделав предварительно одно тривиальное, но вместе с тем
важное замечание: координаты и их скорости должны быть определены для
каждого состояния системы. При исследовании стационарного движения
неуравновешенного ротора, установленного в нелинейных подшипниках (см.
пример 5 § 4.5), удобно пользоваться полярными координатами. Но в
положении равновесия радиус р центра масс С ротора и его скорость р равны
нулю (р = 0, р = 0), а полярный угол ф и угловая скорость ф не имеют
смысла. Кроме того, в полярных координатах уравнения движения оси ротора
(они являются одновременно и уравнениями возмущенного движения около
положения иавновесия) имеют вид ... d
тр - трф2 = - F (р), -gf (тр2ф) = 0.
При р = 0 и любом ф эти'уравнения обращаются в тождества, т. е. они имеют
в положении равновесия бесчисленное множество решений, что нарушает
основное требование о единственности решений уравнений (1.1). Поэтому для
анализа устойчивости равновесного положения оси уравновешенного ротора
нельзя пользоваться полярными координатами. В связи с этим введем обычные
прямоугольные координаты ж и у точки О, которые и будут характеризовать
отклонение оси ротора от положения равновесия в Неподвижной системе
координат, х, у.
Кинетическая и потенциальная энергии определяются равенствами
Р
Т = -^-т (ж2 + у2), П (х, у) = ^ F (р) dp, р = у'ж2 + у2.
о
Так как потенциальная энергия при х = 0, у = 0 имеет изолированный
минимум, то на основании теоремы Ляпунова заключаем, что равновесное
положение оси уравновешенного ротора устойчиво относительно х, у, ? и у;
следовательно, оно устойчиво и относительно р = \[ хг + у2 и v = ?г + у2.
ГЛАВА IV
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
§ 4.1. Постановка задачи
Во многих случаях, особенно в приложениях, устойчивость движения
исследуется по уравнениям первого приближения. Это объясняется не только
простотой метода, но также и тем, что весьма часто наши знания процессов,
происходящих в реальных системах, позволяют надежно определить только
первые линейные члены. Однако, как было показано в § 1.2 (см. пример на
с. 20-21), уравнения первого приближения могут дать иногда совершенно
неверное заключение об устойчивости движения. Поэтому естественно
возникает вопрос об определении условий, при выполнении которых уравнения
первого приближения дают правильный ответ об устойчивости движения. В
общем виде задача ставится следующим образом.
Даны уравнения возмущенного движения
~f" • • * ~f" Q'inJ'n ~f" ^i>
............................................ (4.1)
J'n • • * "Ь Q'nn't-n "I-
где нелинейные члены X1? . . ., Xn содержат xlt .
. ., xn
в степени выше первой (в этой главе вместо У* будем пи-
сать просто Хк).
Требуется определить условия, при которых заключение об устойчивости
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed