Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
и - Е - Ri пересекает график функции и = ф (i) в одной точке, при
отсутствии корней графики не пересекаются).
Рассмотрим случай трех различных корней. Это означает, что теоретически
могут существовать три установившихся режима вольтовой дуги,
соответствующих трем значениям тока Ilt /2, /3. Очевидно, что практически
реализуемы только устойчивые режимы, поэтому необходимо исследовать
каждый из этих режимов на устойчивость.
За невозмущенное примем установившееся движение i - I. Обозначим значение
тока в возмущенном движении через
i - / + х.
Внося это значение тока в дифференциальное уравнение движения системы
(2.48) и учитывая, что dl/dt = 0, получим
L ^ -f- R(I -|- х) -]-ф (I х) = Е.
Разложим функцию ф (I + х) в ряд по степеням х
Ф(' + *) = ф(/) + Ф' (/)*+ . . .,
где точками обозначены члены высшего порядка.
Дифференциальное уравнение движения примет вид
L -|- RI -|- Rx ф (/) -|- ф' (I) х + . . . = Е,
70
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
или, учитывая, что значения тока I удовлетворяют уравнению (2.49): L~r =
-(R + K)x+..., (2.50)
где для простоты положено >е = ф' (/).
Умножим обе части этого дифференциального уравнения возмущенного движения
на х. Тогда после очевидных преобразований получим
"Зг(4-?*•) = -(* + *) **+... (2.51)
Функция
1
F = "2-L&
определенно-положительна относительно х. Ее производная по времени,
вычисленная в силу дифференциального уравнения возмущенного движения
(2.50), определяется правой частью равенства (2.51). Если R + х > 0, то
производная V будет определенно-отрицательной функцией х и,
следовательно, на основании теоремы Ляпунова движение будет
асимптотически устойчиво. Если же R + + х < 0, то производная V будет
определенно-положительной функцией, и на основании теоремы Ляпунова о
неустойчивости ус-тановишееся движение будет неустойчиво.
Таким образом, имеем
R + х > 0 - установившееся движение асимптотически устойчиво,
R + х < 0 - установившееся движение неустойчиво.
Из рис. 2.19 видно, что в точках Мх и Ма функция и = ф (г) возрастает и,
следовательно, ее производная ф' = х в этих точках положительна. На этом
основании при ? = /х и ? = /3 число R + + х больше нуля. Это означает,
что установившиеся режимы, соответствующие значениям ?, равным 1Х и /3,
асимптотически устойчивы относительно тока.
В средней точке М2 функция и = ф (?) убывает, поэтому х2 = = (72) •< 0.
Кроме того, график этой функции в точке М2 более
крутой, чем прямая и = Е - Ri. Это означает, что модуль углового
коэффициента касательной, проведенной к графику функции и = ф (?) в точке
М2, больше модуля углового коэффициента прямой и - Е - Ri, т. е. | х2 | =
| ф' (/2) | > | - R | = R. Учитывая, что х2 = ф' (/2) < 0, будем иметь R
х2 <; 0. Следовательно, установившийся режим, соответствующий току /2,
неустойчив.
При установившемся режиме угловой коэффициент х = ф' (/) может быть
положительным, но может быть и отрицательным. Если на плоскости (R, х)
построить прямую х - -R, то, очевидно, всем точкам, лежащим выше этой
прямой (для них х > -R, или R + + х>0), отвечают асимптотически
устойчивые установившиеся режимы, а для точек, лежащих ниже этой прямой,-
неустойчивые режимы. На рис. 2.20 показана область асимптотической
устойчивости на плоскости R, х.
При одной и той же функции v = и = ф (?) число корней уравнения (2.49) и
их значения зависят от параметров системы - электродвижущей силы Е и
сопротивления R. Меняя один из этих параметров или одновременно оба,
можно получить один, два или три установившихся режима. Рассмотрим для
примера зависимость то-
§ 2.7. ПРИМЕРЫ НА АСИМПТОТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ 71
ка I в установившемся режиме от параметра Е. Для этого построим на
плоскости EI график уравнения (2.49)
Е - RI - ф (/) = О,
считая сопротивление R неизменным (рис. 2.21). Этот график можно
построить, например, следующим образом. Задаем определенное значение Е и
определяем с помощью рис. 2.19 соответствующие значения тока I, после
чего наносим полученные точки (EI) на плоскость EI.
Так, значению Е электродвижущей силы (рис. 2.19) отвечают три значения
тока 1и /2 и /3; точки Nx, N2, Na рис. 2.21 соответствуют точкам Мг,
М2, Ms рис. 2.19.
Было показано, что крайним значениям тока /j и 13 соответствуют
асимптотически устойчивые режимы вольтовой дуги, а среднему значению /2 -
неустойчивый режим. Из этого следует, что точкам кривой ABCDFH рис. 2.21,
лежащим на участке CD, соответствуют неустойчивые режимы, а токам той же
кривой, лежащим на участках АС и DH - асимптотически устойчивые режимы.
Точки С и D, разделяющие устойчивые участки от I
Рис. 2.20
Точка бифуркации
|\^ Неустойчибые установившие ся режимы
Точка бифуркации
Рис. 2.21
неустойчивых, называются точками бифуркации, а (сама кривая ABCDFH,
устанавливающая зависимость координат в установившемся режиме от
параметра (в данном примере зависимость тока I от электродвижущей силы
источника Е), называется кривой равновесия х).
*) Теория бифуркаций, созданная А. Пуанкаре, развивалась в дальнейшем
