Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
интеграл, соответствующий циклической координате ср (второй интеграл -
интеграл моментов количеств движения волчка относительно оси z):
1 1
Т -1 И - ~2 Jх ("3 + Р2 cos2 а) Д- ~2~ Jz (ф - р sin а)2 +
-f- PI cos а cos р = h,
дТ
-г- == /г (ф - р sin а) = Jztiu
9ф
Третий интеграл - это интеграл моментов количеств двнже-чия волчка
относительно неподвижной оси ?
К* = к = const.
64 ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Для того чтобы написать этот интеграл в явном виде, воспользуемся
очевидными равенствами:
Ад; = Jхр = J ха, К у - Jyq - J д Р cos ос, К z === J zx =
= Jz (ф - Р sin а), К,- = Кх cos (?ж) + Ку cos (?у) + Kz cos (?z).
Пользуясь рис. 2.15, б, найдем
cos (?ж) = -sin р, cos (?у) = sin a cos р, cos (?z) = cos ос cos p.
Следовательно, третий интеграл имеет вид
Jx (-ос sin р + р cos ос sin ос cos Р) + Jz (ф - (J sin a) cos а cos р =
к.
Будем изучать устойчивость движения волчка относительно величин ос, й, Р,
Р и ф. Введем следующие обозначения:
ОС = Xl, & = Ж2, Р = Ж3, Р = Xl, Ф = Ф0 -]- Ж5.
В этих обозначениях найденные интегралы дифференциальных уравнений
возмущенного движения примут вид
1
^1 = ~2~ Jx (Х1 + х\ cos2 ЖХ) +
1
~2~ ]z (фо + ж5 - xi sin x-if -|- PI cos жх cos ж3 = h,
F2 фо -j- cTg - Xl sin Xi = rax, (2.40)
Fs = Jx (-ж2 sin ж3 + xi sin Жх cos Жх cos ж3) +
+ Jz (Фо + хъ - ж4 sin ^l) cos xi cos хз - k-
Так как ни один из этих интегралов не является знакоопределенной
функцией, то составим линейную связку интегралов
V = Fi - Fi (0) + |х IF2 - F2 (0)Г + к IF3 - F3 (0)],
где ц и X - неопределенные постоянные коэффициенты.
Внесем сюда значения Рг, F2 и F3, разложим в ряд по степеням жх, . . .,
ж6 и учтем, что ф0 = п. Тогда после группировки членов получим
V = (/2га -|- р -|- kJz) ж5 - 2 "f" zn) xi -f- ~2~ Jxx2 -
~~2~{pl + xt + ~2~ Jxx\ + ~2]z*\ -
(J2n "Ь M1 "b ^z ж) X1X& XX2X2 "i" • • • *
где точками обозначены члены высшего порядка.
Для того чтобы функция V была знакоопределенной, необходимо прежде всего
приравнять нулю коэффициент при первой степени ж5. Имеем
Jгга -{- р -[- kj2 -. 0.
z;.t>. ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА
65
Теперь функция V примет вид
V =¦
где
1
1
1+2 ^**2 + 2 аяз + 2
-^ z^* \Х\ ^..ZууХ'^Ъ ~!- 1
а = - (/*i + kJzn).
(2.41)
Разобьем квадратичную часть функции V на три функции:
1 1
Fi = ~2~ах^ + Я/xxiXi + ~2~ Iхх1'
F2 = 4" ах\
'hJxX33'2~\~ 2 ^ х+ '
F* = -2~/2**.
Функция F3 определенно-положительна относительно xs, а функции Fj и Fa
имеют одинаковую структуру. Поэтому, согласно общей теории для
определения условия устойчивости невозмущенного движения волчка
относительно величин а, &, (1, {5 и ф, достаточно определить условие, при
котором функция Fj будет определенно-положительной относительно величин
х4 и х4 (при этом же условии функция Fa будет определенно-положительной
относительно величин хя и хг).
Напишем условие Сильвестра для функции 1\:
Ах = а >0, Д2 =
Я/
Я/.
=--Jx(a-JxX*)>0.
Пользуясь выражением (2.41), приведем еги неравенства к следующему виду:
Я<--^-, /(Я)=/жЯ*+/гпЯ + Р/< 0. (2.42)
Осталось выяснить условия, при выполнении которых можно подобрать число
Я, удовлетворяющее соотношениям (2.42).
Если дискриминант трехчлена / (Я)
D = J\n2 - 4 JxPl
положителен, то оба корня Я, и Я, уравнения / (Я) = 0 будут вещественны и
различны. Из графика функции / = / (Я) (рис. 2.16) видно, что в этом
случае для всех Я, удовлетворяющих неравенству Ях < Я < Яз, функция / (Я)
< 0, т, е. будет выполнено второе ус-
3 Д. Р. Меркин
66
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
ловие (2.42). Заметим, что при п > 0 оба корня отрицательны (случай,
показанный на рис. 2.16), а при п ¦< 0 оба корня Ах и положительны.
Покажем, что для этих А будет выполнено и первое неравенство
(2.42). Для этого достаточно показать, что при п > 0 этому условию
удовлетворяет больший корень А2. Имеем
| ___________________________
= ~2J ^- Jzn ~
X
jy
Используя теперь очевидное неравенство
1
\[ 1 - х •< 1 - ~2~ xi
получим
Р1
А2 <С
J л
что доказывает сделанное замечание для п > 0 (при п < 0 нужно рассмотреть
меньший корень Ах).
Итак, если угловая скорость п в невозмущенном движении волчка
удовлетворяет условию D > 0, т. е.
J'y>UxPl, (2.43)
то для всех А, заключенных между Ах и А2, функция V будет определенно-
положительной. Ее полная производная по времени в силу уравнений
возмущенного движения на основании интегралов (2.40) равна нулю.
Следовательно, неравенство (2.43) является достаточным условием
устойчивости вертикального положения волчка относительно величин а, а, р,
р, ф (для снаряда в условии (2.43) нужно заменить произведение Р1 на
модуль момента опрокидывающей пары х)).
Остается невыясненным вопрос об устойчивости вертикального иоложения
волчка, когда угловая скорость собственного вращения его в невозмущенном
движении будет меньше граничной величины, определяемой неравенством
(2.43). Этот вопрос будет решен в примере 4 § 4.5.
Прежде чем перейти к примерам на применение теоремы Ляпунова об
