Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(2.37). Тогда после очевидных преобразований получим
У = СО (-СО + Я + 6Х/-2(о) х\ + х\ - Гдсо (со + Я + 2xrjj(o) ж| +
+ Г1Х1 + го С1 + Х7о) х\ + 2гою (20) + Я + 2иг(r)(c)) хх +
-f- Tq (2ю Я 2xtq(c)) д;5 -J- 2г0 (2(c) -J- Ar -J- 4и/р(c)) ^1^5
Для того чтобы функция У была знакоопределенной, нужно прежде всего
приравнять нулю коэффициенты при членах, содержащих переменные жх и хъ в
первой степени (см. примечание к формуле (2.5)). Таким образом, числа Я и
к должны удовлетворять соотношению
Подставляя это значение Я в последнее выражение для У, найдем
Функция Ух определенно-положительна относительно величин ж2, х3 и х4.
Поэтому для того, чтобы функция У была знакоопределенной относительно xlt
х2, х3, х4, ж6, достаточно показать, что можно найти такое число х, при
котором функция У2 будет определенно-положительной относительно жх и хъ.
Критерий Сильвестра для функции У2 имеет вид (см. формулы (2.9))
Из этих выражений видно, что при х > 3/г2 оба условия будут выполнены и,
следовательно, функция У2 будет определенно-положительной относительно
жх, хъ, а функция У - определенно-положительной относительно жх, х2, х3,
х4, х6, что и доказывает устойчивость стационарного движения
искусственного спутника Земли относительно величин г, г, 0, 0, ф 1).
2со + Я + 2хг2ш = 0.
Отсюда
Я = -2со - 2xr2w.
У = (о2 (4хг2 - 3) х\ х\ + r2(o2.r2 + rfel +
+ rl (! + хг2) x\ + 4хг*(ог1жв + . . .
Разобьем квадратичные члены на две функции:
= х\ + ^oAr2 + гох1'
У2 = (о2 (4хг2 - 3) х\ + 4xr(r)(o-rx;r5 + г2 (1 + хг2) ж2.
Ат = (о2 (4хг2 - 3) > О,
(о2 (4хг2 - 3) 2хг2ш
2хг(r) (о
х) Этот результат получен В. В. Румянцевым [46] другим методом (см.
пример 2 § 3.5). Там же исследованы на устойчивость другие стационарные
движения искусственного спутника Земли.
62
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Прежде чем перейти к следующему примеру, сделаем одно замечание. Во
многих задачах требуется ответить на вопрос: будет ли рассматриваемое
движение устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво? Первые два
примера относились как раз к этой группе задач. Однако, как уже
отмечалось ранее, в технике, как правило, встречаются задачи другого
плана, а именно: известно, что при некоторых значениях параметров системы
невозмущенное движение неустойчиво. Ставится задача: как следует выбрать
параметры системы, чтобы ее движение сделалось устойчивым (или
асимптотически устойчивым)? Третий пример относится ко второй группе
задач.
Пример 3. Достаточное условие устойчивости волчка (условие устойчивости
вращательного дв и'ж е н и я снаряд а). Каждому ребенку известно, что
невращающпнся волчок падает и, для того чтобы его ось сохраняла
вертикальное положение, волчок нужно сильно закрутить, т. е. ому нужно
сообщить достаточно большую скорость собственного вращения. Точно так же
все артиллеристы знают, что невращающийся продолговатый снаряд (снаряд,
выстреленный из гладкоствольного орудия) кувыркается. Естественно
возникает вопрос: какую угловую скорость собственного вращения нужно
сообщить волчку (снаряду), чтобы он не падал (снаряд не кувыркался)?
Так как вращательное движение продолговатого снаряда, центр масс которого
перемещается по весьма настильной траектории, и движение волчка около
вертикали описываются совершенно одинаковыми дифференциальными
уравнениями, то достаточно рассмотреть устойчивость движения одного из
них, например устойчивость волчка.
На волчок, угловая скорость собственного вращения которого равна ф,
действуют две внешние силы (силами сопротивления пренебрегаем): сила
тяжести Р, приложенная к центру масс С волчка, и реакция 11в опоры О
(рис. 2.15, а). Положение оси z симметрии волчка относительно неподвижных
осей (ось ? вертикальна) будет определяться углами аир (рис. 2.15, б). За
новозмущенное движение волчка примем его равномерное вращение с угловой
скоростью ф0 = п вокруг оси симметрии z, совпадающей с неподвижной
вертикальной осью ?. В невозмущенном движении
ос = 0, а = О, Р = О, Р = 0, ф = ф0 = п = const.
В возмущенном движении все эти величины будут меняться.
Введем оси х, у, z (рис. 2.15, б) и обозначим через plt qv и гг проекции
угловой скорости оц вращения трехгранника xyz относительно неподвижных
осей
Пользуясь рис. 2.15, б, найдем
Pi = a, = Р cos а, гг = -р sin а.
Проекции р, q, г угловой скорости ш вращения волчка определяются
равенствами
р = ы, q - р cos а, г = ф - р sin а.
§ 2.6. ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА
63
Теперь найдем кинетическую анергию волчка
1 1
Т - ~2~ Jх (а2 -f- р2 cos2 а) + 1, (ф - Р sin а)4.
Здесь Jx - Jy - акваториальные, a Jz - аксиальный моменты инерции волчка.
а)
б)
Рис. 2.15
Потенциальная энергия П волчка будет П = PI cos a cos р,
где Р - вес волчка, I - расстояние от его центра масс С до опоры О.
В рассматриваемом случае можно, так же как и в первых двух примерах, не
составляя дифференциальных уравнений возмущен-аого движения, найти три
интеграла. Два интеграла определяются зразу - это интеграл энергии и
