Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
1 1 П = -у Х1ф2 + -у к2 (ф2 - 2ф1ф2 + ф2) -
- (mi + m2) gli (1 - cos фг) - m2gl2 (1 - cos ф2).
Пользуясь разложением косинуса в -ряд Маклорена:
22
cos z = 1 - -у-
получим после группировки
1 2 II = -у {[у.1 + х2 - (mi -f т2) gZj] ф" -
- 2х2ф1ф2 + (х2 - m2gl2) ф2}
где точками обозначены члены, содержащие ф2 и ф2 в степени выше второй.
Введем обозначения
Сц = х2 -(- х2 - (т2 -(- т2) gli, с12 = с21 = -х2, с22 = х2 - m2gl2.
Тогда
1
п = -у (Сцф? -f- 2с12ф!ф2 -f- с22ф2) + . . .
Критерий Сильвестра (2.9) в данном примере имеет вид
сц с12
Ai = cii^>0, Д2 =
С21 сш
¦ Сцс22 - с., > 0.
Вместо этих неравенств можно ввести два других, им эквивалентных (они
могут быть получены, в частности, из критерия Сильвестра простой
перестановкой индёксов):
с22 0, с21с12 с22 0.
Пользуясь значениями c-gj, получим
Ха - m2gl2 > 0, (х2 - m2gl2) [Xj -f х2 - (m2 + m2)gZj] - x2 > 0. Решая
эти неравенства относительно х2 и х^, легко найдем
Kz>m2gl2, Xj> т^ -f (mi + т2) gZ2 - х2.
§ 3.2. ОБРАТИМОСТЬ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА 81
Положим
А = m2gl2, В = + т2) glp
Тогда последние неравенства принимают вид
*2
A, ^___д + В х2.
Преобразуем второе неравенство. Имеем
х'2 - А2 - А2 Д2
*i > х2 -A h ^ - "2 = Хз + А -|- Хз _ д + Я - х2.
Теперь условие устойчивости принимает вид
Л2
*1> -'х2 _ д ¦ + А + д, Хз> А. (3.8)
На рис. 3.2 показана область устойчивости равновесия вертикального
положения.
А2
Граница области определяется уравнением = -г 4- А -(-
Xg - -Д
fin неравенством х2 > А.
§ 3.2. Обратимость теоремы Лагранжа
Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости
равновесия консервативной системы: если потенциальная энергия имеет в
положении изолированного равновесия минимум, то равновесие устойчиво.
Ляпунов первый поставил вопрос об обратимо-ти теоремы Лагранжа, а именно:
можно ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии
равновесие будет неустойчивым? Ему принадлежат следующие две теоремы,
которые приводятся здесь без доказательств (см. 1351).
1. Если в положении изолированного равновесия потенциальная энергия не
имеет минимума и его отсутствие определяется членами второго порядка
малости без необ-
82 ГЛ. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
ходимости рассматривания членов высшего порядка, то равновесие
неустойчиво.
2. Если в положении изолированного равновесия потенциальная энергия
имеет максимум, определяемый по членам наименее высокого порядка, которые
действительно имеются в разложении этой функции, то равновесие
неустойчиво.
Н. Г. Четаев обобщил эти теоремы Ляпунова и доказал следующую теорему:
если в изолированном положении равновесия потенциальная энергия П,
предполагаемая аналитической функцией qx, . . ., qs, не имеет минимума,
то равновесие неустойчиво (см. [49]).
На основании приведенных теорем § 3.2 и 3.1 будем в дальнейшем считать,
что устойчивому положению равновесия потенциальной системы отвечает
минимум потенциальной энергии. Из этого следует, что устойчивое положение
равновесия потенциальной системы изолировано.
§ 3.3. Циклические координаты.
Преобразование Рауса
Существует обширный класс механических систем, для которых некоторые
координаты не входят явным образом в кинетическую энергию системы, а
обобщенные силы, соответствующие этим координатам, равны нулю. Такие
координаты называются циклическими, а остальные координаты системы -
позиционными или просто нециклическими. Так, например, для искусственного
спутника Земли (см. пример 2 § 2.6) координата ср - циклическая, а
координаты 0 и г - позиционные. Для конического маятника (пример 1 § 2.6)
координата г[> - циклическая, а координата 0 - позиционная. Для волчка
(пример § 3 § 2.6) координаты аир - позиционные, а координата ф -
циклическая.
Пусть ?i, • • ?я ~ позиционные, а ф1( . . ., фт - циклические координаты
системы. Запишем уравнения Лагранжа для циклических координат
d дТ дТ " ,. . . /о п\
= (7-1 (3.9)
Кинетическая энергия Т системы по определению циклических координат не
зависит явным образом от ф7-; поэтому
§ 3.3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
83
Кроме того, обобщенные силы <?ф., соответствующие циклическим
координатам, ,равны нулю
Следовательно, уравнения Лагранжа (3.9) для циклических координат
принимают вид
Эти уравнения допускают очевидные первые интегралы
показывающие, что обобщенные импульсы, соответствующие циклическим
координатам, остаются постоянными во все время движения.
Первые интегралы (3.11) можно использовать для преобразования уравнений
Лагранжа для позиционных координат. Это преобразование принадлежит Раусу
и носит его имя. Не останавливаясь на выводе (см., например, [38, 49]),
приведем только результаты.
Правые части первых интегралов (3.11) содержат циклические скорости ф;-
линейно, так как Т - квадратичная функция скоростей. Найдем из m первых
интегралов
(3.11) все ф;-, выразив их через qи ck\ внесем затем их в выражение
для кинетической энергии и обозначим результат подстановки через Т*,
