Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
асимптотической устойчивости, заметим, что иногда с помощью выбранной
связки интегралов построить знакоопределенную функцию нельзя. В этом
случае нужно испытать другие комбинации интегралов. Если же все связки
интегралов не дают возможности определить условия устойчивости движения,
то это еще не
J) Впервые условие устойчивости (2.43) для вращательного движения снаряда
(оно известно как условие Маниевского - Крылова) строго доказал Н. Г.
Четаев (см. [49]).
§ 2.7. ПРИМЕРЫ НА АСИМПТОТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ 67
означает, что движение неустойчиво - нужно просто не-, рейти к другим
методам, с помощью которых можно будет решить вопрос об устойчивости.
§ 2.7. Примеры на применение теорем об асимптотической устойчивости и
неустойчивости движения
Пример 1. Асимптотическая устойчивость равновесия твердого тела,
находящегося в сопротивляющейся среде. Рассмотрим свободное твердое тело,
движущееся в соопротивляющейся среде поступательно относительно
инерциальной системы отсчета (в частности, оно может находиться в покое).
Это движение тела примем за невозмущенное. Дадим телу небольшие
возмущения, в результате чего возникает вращательное движение
относительно поступательно перемещающихся координатных осей С?т]?, начало
которых совпадает с центром масс С тела.
.Будем считать, что среда, в которой движется тело, создает момент сил
сопротивления М, пропорциональный некоторой степени угловой скорости со
тела:
М - - жо" = - ша~г(о, (2.44)
где а> - угловая скорость тела в возмущенном движении, а х и а -
положительные коэффициенты (они могут быть постоянными, но могут зависеть
и от со, изменяясь в некоторых пределах: 0 ¦< кг ^ < V, (со) < Хз, 1 <
ocj < а (со) < а2).
Кроме того, будем предполагать, что другие силы, действующие на тело
(если они существуют), не создают момента относительно центра масс. В
этих предположениях динамические уравнения Эйлера (см., например, [12])
примут вид
dm
Jx ~dT + - Ji) йУ°у = - хш" Ч>
dm
Jv^T + (Jx ~ Jz) = - (tm)a"1CV (2-45)
dm
JZ ST + Vy - Jx) ЫуЫх = -
где Jx, Jy, Jz - моменты инерции тела относительно главных центральных
осей инерции тела х, у, z, а тх, Шу, тг - проекции угловой скорости тела
на те же оси.
Будем рассматривать устойчивость вращательного движения тела относительно
проекций угловой скорости тх, со;/, coz. Так как по условию задачи в
невозмущенном движении со* - со" -= oiz ¦ - О (тело двигалось
поступательно или находилось в покое), то уравнения (2.45) будут
дифференциальными уравнениями возмущенного движения.
Докажем, что невозмущенное движение тела асимптотически устойчиво
относительно величин сож, соь, <в2. Для этого умножим
3*
68
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
первое уравнение (2.45) на сож, второе на а>у, третье на a>z и сложим все
уравнения. После очевидных преобразований получим
doi" d со., dco.
/"со
xUJx dt
-I- / CO 1 1!
У
у у dt
• /.СО
dt
¦ (сож -f СО' -f- шг),
(2.46)
или, учитывая, что со = (<а(r) + со(r) + со';)''2,
1 d a+l
Т ~dT lJxal + J,Au + Jz<) = ~ * (WX + + "z) а • (2-W)
Функция
1
f-=-2-(/X + /"< + jA)
определенно-положительна, а ее производная в силу уравнений возмущенного
движения, согласно равенству (2.47), определенно-отрицательна.
Следовательно, выполнены все условия соответствующей теоремы Ляпунова и
вращательное движение тела в сделанных
предположениях асимптотически устойчиво относительно величин <аж, се у и
<вг.' Заметим, что из этого не следует устойчивость относительно угловых
перемещений.
Пример 2. Устойчивость установившихся режимов вольтовой дуги в цепи с
сопротивлением и самоиндукцией [4]. Рассмотрим вольтову дугу, включенную
в цепь с омическим сопротивлением R, самоиндукцией L и источником
энергии, электродижущая сила которого равна Е (рис. 2.17). Вольтова дуга
представляет собой проводник, не подчиняющийся закону Ома. На рис. 2.18
приведен график статической характеристики вольтовой дуги для
установившихся режимов. В дальнейшем будем считать, что установленная
этим графиком зависимость v = ф (?) между током ? и напряжением v в
дуговом промежутке справедлива и для режимов, близких к установившимся.
Это равносильно предположению, что скорость колебательных процессов в
схеме мала по сравнению со скоростями установления ионных процессов,
обусловливающих ток в вольтовой дуге.
Пользуясь вторым законом Кирхгофа, получим в сделанных предположениях
следующее дифференциальное уравнение:
L ^ -f Ri -(- ф (?) = Е. (2.48)
g 2.7. ПРИМЕРЫ НА АСИМПТОТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ 69
Внося сюда i = I = co'nst, получим уравнение для определения значений
тока, отвечающих установившимся режимам:
RI + -ф (I) = Е. (2.49)
Корни этого уравнения легко определяются как абсциссы точек пересечения
графиков функций
и = ф (i), и - Е - Ri.
В зависимости от значений параметров Е и R уравнение (2.49) может иметь
три, два, один и ни одного вещественного корня. На рис. 2.19 изображен
случай трех корней этого уравнения (при
двух корнях точки шг и Мг(или Мг и Ма) сливаются, при одном корне прямая
