Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
системы) все = 0:
Принимая во внимание выражение (3.20) для потенциальной энергии W
приведенной системы, этим условиям можно придать и другой вид, а именно:
Таким образом, для осуществимости стационарного движения необходимо и
достаточно, чтобы начальные значения позиционных координат q}
удовлетворяли s равенствам (3.24) и все начальные значения позиционных
скоростей q j равнялись нулю (при q - const и q - 0 все циклические
скорости ф будут сохранять постоянные значения). Отметим, что в функцию
R0 входят постоянные с;-циклических интегралов (3.11), поэтому значения
q0j в стационарном движении зависят от циклических скоростей ф,
содержащихся в с j.
Перейдем теперь к определению условий устойчивости стационарного
движения, которое будем считать за невозмущенное движение. Не нарушая
общности, можно считать, что в стационарном движении все позиционные
координаты q} равны нулю. Тогда уравнения движения
(3.19) приведенной системы будут дифференциальными уравнениями
возмущенного движения относительно позиционных координат qj и скоростей
qj. Раусу принадлежат несколько теорем об устойчивости стационарного
движения. Здесь приводится одна из них, получившая наибольшее
распространение.
Теорема Рауса. Если ц стационарном движении потенциальная энергия W - П -
R0 приведенной системы имеет минимум, то это движение устойчиво
относительно позиционных координат qj и скоростей с j, по крайней мере
для возмущений, не нарушающих значения циклических интегралов (3.11).
Доказательство. При стационарном движении исходной системы приведенная
система находится в покое. Кроме того, для этой системы имеет место
интеграл энергии (3.23). Поэтому для доказательства теоремы Рауса
достаточно повторить доказательство теоремы Лагранжа,
(3.24)
88 гл. III. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
Теорема Рауса в данной формулировке справедлива, конечно, для возмущений,
при которых не нарушаются циклические интегралы (3.11) (так как последние
входят в потенциальную энергию приведенной системы через функцию i?0).
Ляпунову принадлежит существенное дополнение к этой теореме, устраняющее
этот недостаток. Ниже приводится без доказательства дополнение Ляпунова в
форме следующей теоремы х).
Теорема. Если потенциальная энергия W приведенной системы имеет минимум
как при данных р}- - c.j, отвечающих рассматриваемому стационарному
движению, так и при всяких достаточно близких к данным значениях pj - =
Cj + г\), где малы по модулю, причем значения переменных q%, обращающие
ее в минимум, суть непрерывные функции величин рj, то стационарное
движение устойчиво относительно (, ц и q^.
Примечание. Циклические интегралы (3.11) содержат позиционные q и
циклические ф скорости линейно. Поэтому из устойчивости стационарного
движения относительно величин q% и Цу, следует устойчивость и
относительно циклических скоростей ф (но не координат ф).
Необходимо отметить, что устойчивость стационарного движения может быть
осуществлена и при отсутствии минимума потенциальной энергии (за счет
гироскопических сил). Поэтому распространить теоремы Ляпунова и Четаева
об обратимости теоремы Лагранжа на стационарное движение нельзя. Однако
для гироскопически несвязанной системы справедлива следующая теорема,
являющаяся перефразировкой теоремы Четаева об обратимости теоремы
Лагранжа.
Теорема. Если для изолированного стационарного движения гироскопически
несвязанной системы при фиксированных циклических интегралах (3.11)
функция W, предполагаемая аналитической функцией переменных q, не имеет
минимума, то стационарное движение неустойчиво.
В заключение отметим, что для практического применения теоремы Рауса
достаточно заметить, что при выпол-
!) А. М. Ляпунов приводит свое дополнение к теореме Рауса без
доказательства. В. В. Румянцев в работе [46] доказал это дополнение в
предположении непрерывности функции W. В этой же работе приводится
наиболее полное изложение теории устойчивости стационарных движений;
часть результатов принадлежит В. В. Румянцеву. В работах [24а, 536, 53в]
приводятся условия обратимости теоремы Рауса и, как следствие условия
обратимости, теоремы Лагранжа - Дирихле.
§ 3.5. ПРИМЕРЫ
89
нении ее условий функция W - W0 будет определенноположительной (W0 -
значение функции W в стационар-пом движении). Поэтому здесь рационально
использовать обычный прием разложения этой функции в ряд с последующим
применением критерия Сильвестра.
§ 3.5. Примеры
В примерах 1 и 2 § 2.6 устойчивость стационарных движений конического
маятника и ИСЗ была доказана с помощью связки интегралов. Получим теперь
эти же результаты с помощью теоремы Рауса.
Пример 1. Устойчивость стационарного
движения конического маятника. Ранее были найдены следующие выражения для
кинетической Т и потенциальной П энергий маятника (см. рис. 2.14 и
формулы на с. 58):
1
Т = ~2 ml2 (0а + Ф2 sin2 9), П = - mgl cos 0.
Из этих выражений видно, что координата ф циклическая (она входит в
кинетическую энергию только через скорость ф и не содержится в
