Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
возрастает. Противоречивость полученных для V неравенств возникла из
сделанного предположения, что изображающая точка не выйдет за пределы
сферы е. Таким образом, это предположение неверное, что доказывает
теорему.
Как уже отмечалось, теорема Четаева является обобщением двух теорем
Ляпунова о неустойчивости движения. Приведем одну пз них.
Теорема Ляпунова о неустойчивости движения. Если дифференциальные
уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию V, которая
обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной V и могла
бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с К, то
невозмущенное движение неустойчиво.
Действительно, по условию теоремы Ляпунова производная К определенно-
положительна во всех точках окрестности нуля (не нарушая общности, можно
считать, что V > 0) и, следовательно, она определенно-положительна и в
той области, в которой функция V принимает положительные значения
(область V )> 0). Таким образом, выполнены все условия теоремы Четаева,
что служит доказательством теоремы Ляпунова.
Обобщение Четаева состоит в том, что он ослабил условия Ляпунова,
налагаемые на производную V - достаточно, чтобы она была определенно-
положительной не во всех точках окрестности нуля, как требует теорема
Ляпунова, а только в области V 0.
Другое ослабление требований, налагаемых на производную К, содержится в
следующей теореме.
Теорема Краеовского о неустойчивости движения. Если для дифференциальных
уравнений возмущенного движения (1.17) можно найти функцию V такую, что
ее производная К удовлетворяет условиям:
1) К > 0 вне К,
2) К = 0 на К,
где К - многообразие точек, не содержащее целых траекторий при 0 t <С оо,
и если при этом можно указать точки, лежащие в произвольной окрестности
начала коор-
52
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
динат, такие, что в них V О, то невозмущенное движение неустойчиво.
Геометрическое обоснование этой теоремы в значительной своей части
совпадает с аналогичным обоснованием теоремы Н. Н. Красовского об
асимптотической устойчивости - см. § 2.3. Действительно, возьмем
начальную точку М0 (х0) такую, чтобы в ней выполнялось условие V (х0)
0. Так как в этой точке F0 > 0 и f )> 0
(предполагаем вначале, что М0 не принадлежит многообразию К), то функция
V будет возрастать, а изображающая точка М будет удаляться от начала
координат. Если при своем движении изображающая точка М попадет на К, или
Мо принадлежит К, то вскоре она должна будет покинуть это многообразие
(оно не содержит целых траекторий) и снова начнется удаление точки М от
начала координат. Строгое доказательство этой теоремы можно найти в книге
Н. Н. Красовского [27].
Рассмотрим небольшой пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют
вид
&х - X j | 2 Х^, -^2 - *^1*^2*
Покажем, что невозмущенное движение хх = х2 = 0 неустойчиво. Для этого
возьмем функцию
гг 1 4
V = Х1 - Х2.
Эта функция имеет область V > 0, состоящую из двух частей, ограниченных
параболами хх = х* и х\ = -ж" (рис. 2.13). Вычислим
производную V функции V в силу уравнений возмущенного движения
V = 2xxix - 4^1*2
или, внося значения ix и ±2 и упрощая,
V = 2x1
Так как эта производная положительна при всех хх > 0 и любых х2, то в
правой части области V > 0 выполнены все условия теоремы Четаева (левую
часть области можно просто игнорировать) и, следовательно, невозмущенное
движение хг = х2 - 0 неустойчиво.
Заметим, что выбранная в этом примере функция V не удовлетворяет условиям
теорем Ляпунова и Красовского (производная Г меняет знак при изменении
знака хх).
§ 2.5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
53
Прежде чем перейти к приложениям, отметим, что из--ложенные в § 2.2-2.4
теоремы составляют фундамент прямого метода Ляпунова. При их
доказательстве предполагается, что рассматривается устойчивость
относительно всех переменных, входящих в уравнения возмущенного движения.
В. В. Румянцев в работе [45] распространил прямой метод Ляпунова на
системы, в которых изучается устойчивость движения относительно части
переменных.
§ 2.5. Методы построения функции Ляпунова
Применение основных теорем прямого метода требует знания функций
Ляпунова, удовлетворяющих определенным требованиям. К сожалению, общих
методов построения таких функций нет, но во многих случаях их можно
сконструировать. Не останавливаясь на подробном разборе различных
способов построения функций Ляпунова (см. обзор [2а]), укажем на
несколько методов, чаще всего применяемых при решении практических задач.
1. Метод преобразования координат. Если для данных уравнений возмущенного
движения трудно найти функцию Ляпунова, то часто переходом к новым
координатам (конечно, прежде всего следует испробовать линейное
преобразование с постоянными коэффициентами) уравнения удается привести к
такой форме, для которой соответствующая функция находится сравнительно
просто. Этот метод неоднократно используется в настоящей книге (§ 4.2,
4.3, 5.4, 6.2 и др.).
2. Метод неопределенных коэффициентов. Будем искать функцию Ляпунова в
