Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Меркин Д.Р. -> "Введение в теорию устойчивости движения" -> 15

Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения — М.: Наука, 1976. — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuustoychivosti.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 101 >> Следующая

имеют вид
d.r 2,т l. 4 j_ ^
dt (t -{- x2)2 ' 1 + x2 '
dy _ 2x 1 /, . 2
dt (l+г2)2 (
___________(4 +
1 -)- x2)2 ^ ^
48 ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
,+-Ч2+чЪ)
Отсюда найдем угловой коэффициент касательной к траектории у системы
(2.17) в точках кривой (2.18)
_ 1
fr* _ йУ - _ _________________________
dx (1 -(- х2)2 L 2 2а;
1 + х2 (1 + х2)2
Сравнивая с выражением для к, получим lim Т= T<i'
х-"оо К 4
Следовательно, найдется такое достаточно большое положительное число ад,
что при всех х > ад будет выполняться неравенство
I к* | < | к |
(нз выражений для к* ж к видно, что при достаточно больших х оба
коэффициента отрицательны).
Рассмотрим далее область G, определенную неравенствами (рис. 2.10)
1
х>х2^х1, у > 2 -|- -j _j_ х%
где х2 удовлетворяет соотношению
2ж2
Ч~<4. (2.19)
Область G имеет следующие свойства.
1. Изображающая точка М системы (2.17), перемещаясь по интегральной
кривой у, не может пересечь кривую (2.18) изнутри наружу, так как для
этого необходимо, чтобы в точке пересечения угловые коэффициенты
удовлетворяли условию | к* \ > | к \ , а при а: > ад имеет место
неравенство | к* | ¦< | к \ .
2. Изображающая точка М системы (2.17), попав в область G, удаляется все
время вправо от ее левой границы х = ад (рис. 2.10). В самом деле, при х
> ад из неравенства (2.19) следует, что
2а; ,
(1 + х2)2 < 4
(ад достаточно велико).
Теперь, пользуясь определением области G, из первого уравнения системы
(2.17) последовательно получим
dx 2х п ^ 2х г 2 2
~dt ~ ~ (1 х2)2 -*Г2У>- (1 -j-а:2)2 + 4 + 1 а:а > 1 -\-х2 > °>
что доказывает возрастание абсциссы х изображающей точки М системы
(2.17).
Из свойств 1 и 2 следует, что если начальная точка М0 находится в G, то
интегральная кривая не выйдет из этой области. Это свидетельствует об
отсутствии устойчивости в целом.
§ 2.4. ТЕОРЕМЫ О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 49
§ 2.4. Теоремы о неустойчивости движения
Ляпунову принадлежат две теоремы о неустойчивости движения. В 30-х годах
нашего столетия Четаев обобщил эти теоремы и доказал теорему, из которой
как частный случай вытекают теоремы Ляпунова. Поэтому мы начнем с
изложения теоремы Четаева.
Пусть вещественная непрерывная и однозначная функция V (х) по-прежнему
определена в области (2.1)
2и"
где р - постоянное положительное число.
Совокупность значений переменных хг, . . ., хп из этой области,
удовлетворяющих неравенству
V (х) > 0,
называется областью F^>0, а поверхность F - 0 - границей области F]>0.
Предполагается, как и прежде, что F (0) = 0, т. е. начало координат
принадлежит границе области F )> 0. Так, например, границей области F > 0
для функции
V = х1 - х\ будет парабола (рис. 2.11)
хх = х\.
Если функция F определенно-положительна, то областью F > 0 будет вся
окрестность нуля. Для отрицательных функций F область F 0 не существует.
Теорема Четаева. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения
позволяют найти функцию V (х), для которой в сколь угодно малой
окрестности нуля существует область F Д> 0, и если производная F функции
V, вычисленная в силу этих уравнений, положительна во всех точках области
V 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Доказательство. Возьмем положительное сколь угодно малое число е и
построим сферу = е (конечно, е р). Чтобы обнаружить неустойчивость
невозмущенного движения, достаточно заметить всего одну траекторию изоб-
50
ГЛ. II, ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
ражающей точки М, выходящую за пределы сферы е. Возьмем начальное
положение точки М в области V )> 0, причем точка М0 может быть сколь
угодно близка к началу координат, но не совпадать с ним. Так как по
условию теоремы в области V )> 0
то функция V монотонно возрастает и, следовательно, для всех t ?" будем
иметь
V(x) > F0 > 0,
где F0 значение функции F в точке М0.
Изображающая точка М, начав движение из М0, при своем дальнейшем движении
не может пересечь границу
области V 0 (на границе F = 0, а в начальный момент F0 > 0 и F возрастает
монотонно). Предположим, что при дальнейшем движении изображающая точка М
не выйдет за пределы сферы е, т. е. находится все время внутри замкнутой
области G (рис. 2.12)
2W < е, F (х) > F0.
Тогда функция F, как непрерывная и не зависящая от t явно, будет при всех
? !> ?0 ограничена, т. е. будет удовлетворять условию
F<T,
где L - некоторое положительное число.
В замкнутой области G производная F положительна и также ограничена
(положительна по условию теоремы, ограничена - так как непрерывна и не
зависит от ? явно). Поэтому в этой области производная F имеет точную
нижнюю границу I, причем I )> 0. Если предположить, что изображающая
точка М не выходит за пределы сферы е и, следовательно, все время
находится внутри области G, то при всех ? ;> ?0 производная F будет
удовлетворять условию
F > I > 0.
§ 2.4. ТЕОРЕМЫ О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 51
Пользуясь этим неравенством и соотношением (2.14), цайдем
V>V0 + l(t- f0).
Отсюда следует, что с течением времени функция V неограниченно
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed