Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
простым г).
Перейдем к исследованию устойчивости стационарного движения маятника
относительно величин 0, 0 и ф. Ни один из найденцых интегралов не
является знакоопределенной функцией относительно величин хх, .г2 и х3.
Поэтому составим линейную связку интегралов
(2.36), положив Ах = 1 и Х2 = X:
V=Fx- Fx (0) + X [F2 - F2 (0)] ^ [*f + sin2 (a + *i) • (со + x3)2] -
2g I . 2g \
- ~Y cos (a + x{) - I со2 sin2a - -y cos a ) +
-f- X sin2 (a -|- a,-x)-(co + .r3) - X sin2a-co.
\) Для того чтобы оценить рассмотренные! здесь метод, рекомендуем
читателю получить интегралы (2.36) из уравнений возмущенного движения
(1.27).
§2,0, ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА 59
Члены - (^со2 sin2 а - -у cos a j п -Я sin2 а - со внесены для того,
чтобы функция V обращалась в нуль при хг = х2 = х3 = 0. Заменим отношение
g/l его значением из равенства (2.34) и разложим функцию V в ряд по
степеням :с1, х.,, х3. Имеем
sin2 (ct + xj) = sin2 а + sin 2а¦х1 + cos 2а-лг(r) + . . .,
1 *
cos (а + Xi) = cos а - sin a-rL - -у cos а-х~ + . . .,
где точками обозначены члены высшего порядка.
Внесем эти значения для sin2 (ос + хг) и cos (а + xt) в послед-
нее выражение для функции V и сгруппируем члены:
V - со [(А, + со) cos 2а + со cos2 а] х\ + х°2 -f- sin2 а ¦х| -f-+ о) sin
2а .(Я + 2w) х1 -f- sin2 а -(Я + 2со) х3 +
+ sin 2а-(Я -|- 2со) xtx3 |- . .
Для того чтобы функция V была определенно-положительной, необходимо
прежде всего избавиться от членов, содержащих вариации хг, х2 и х3 в
первой степени (см. примечание к формуле (2.5)). В данном случае для
этого достаточно положить
Я = -2 со.
При таком зпачении Я функция V примет вид
V - со2 sin2 а-х* -j- х\ + sin2 а-х'3 -|- . . .
Так как квадратичная часть функции V определенно-положительна
относительно х3, х2 и х3, то при достаточно малых значениях хл, х2 и х3
вся функция V будет также определенно-положительна. Производная по
времени функции V на основании интегралов
(2.36) тождественно равна нулю, и, следовательно, стационарное
движепие конического маятника устойчиво относительно 0, 0 и ф. Этот
результат будет получен в примере 1 § 3.5 другим методом.
Пример 2. Устойчивость стационарного движения центра масс искусственного
спутника Земли. В § 1.3 было показано, что искусственный спутник Земли
может совершать движение с постоянной скоростью по окружности радиуса г0.
Параметры этого движения удовлетворяют условию
(1.30)
со2г(r) = р. (2.37)
Положение спутника в возмущенном движении будем определять сферическими
координатами г, ср, 0 (рис. 1.5, б). Кинетическая Т и потенциальная П
энергии спутника определяются выражениями (1.31):
m . тп
Т = ~2~ (г2 -j- г2Э2 + г2 cos2 0ф2), П = - р -р~ .
Так как действующая на искусственный спутник Земли сила тяготения
потенциальна, а координата <р циклическая, то существуют два
60 гл. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
интеграла движения (h и п - постоянные) 2)
Г + П= r2024-r2cos20cp2) -
дТ _ (2.38)
-г- = тпт2 cos2 0ш = тп. дф
Будем рассматривать устойчивость стационарного движения спутника по
круговой орбите относительно величин г, г, 0, 0 и ср. Введем обозначения:
г = г0 + хг, г = х2, 0 = х3, 0 - х4, ф =
= |ш+ хъ. В сделанных обозначениях найденные интегралы можно записать в
следующей форме:
F1 = *2 + (ro + -^i)2 4 + (го + *i)2 cos2 х3 • (со + z6)2 - 2 Го_^ ^ = h,
F2 = (гв -]- xt)2 cos2 х3-(со -]- х5) = п. (2.39)
Отметим, что, так же как и в первом примере, оба интеграла
дифференциальных уравнений возмущенного движения получены из общих
соображений, без помощи самих уравнений. Конечно, второй интеграл (2.39)
вытекает непосредственно из третьего уравнения (1.32), а первый интеграл
может быть получен путем комбинации этих уравнений, но этот путь требует
не только составления самих уравнений (1.32) или (1.33), но и умения
получить из них необходимые интегралы.
Перейдем к исследованию невозмущенного движения спутника. Ни один из
найденных интегралов не является знакоопределенной функцией величин х4,
х2, х3, х4, хь. Поэтому функцию Ляпунова V будем искать в форме связки
этих интегралов
V = Ft - (0) 4- I [Ft - F2 (0)] 4- x [F\ - F\ (0)],
где к их - постоянные числа.
Внесем в это выражение для V значения интегралов Fx и F2:
V = х\ 4- (г0 4- Хх)2 х\ 4- (г0 4- Хх)2 COS2 Хз- (со 4- х6)2 -
-2 70'_)! Х1 - row2 + 2 "77 + к [(г° + cos2 ^3• (со 4- %) -
Г2СО] 4-
4- х [(г0 4- Xxf cos1 а:3.(й) 4- х5)2 - г*со2].
Разложим правую часть этого равенства в ряд по степеням х4, . . .
. . ., х5. Имеем
( 4 \2
cos2 Жз=|^1 - "2~ 4- • • • J = 1 - я2 4- ,
COS1 ж3 = ^ 1 - -у- 4- • • ¦ ) = 1 - 2л:2 4- ... ,
__И__Л 1, ,
Го 4" Х1 Го ^ г* г
о о
где точками обозначены члены высшего порядка.
х) Эти интегралы можно получить путем комбинации уравнений возмущенного
движения центра масс искусственного спутника Земли (1.33),
§ 2.6. ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА 61
Подставим эти выражения в последнее равенство и учтем, что в-стационарном
движении параметры со и г0 удовлетворяют условию