Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
виде квадратичной формы с постоянными коэффициентами
П П
v (х) = 4" aMX}cXi' (2,2а)
s-=i j=i
Прежде всего подчиним неопределенные коэффициенты akj критерию Сильвестра
(2.9). Тогда функция V будет определенно-положительной. Так как число
коэффициентов а*-,- равно п {п 1)/2, то после этого останется еще п (п -
1)/2 независимых коэффициентов, которыми можно распорядиться по своему
усмотрению.
Предположим теперь, что требуется найти условия, налагаемые на параметры
системы, при выполнении которых
54
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво (в технических
положениях этот случай встречается чаще всего). Тогда постараемся
подобрать оставшиеся независимые коэффициенты a^j функции V так, чтобы
производная Е, вычисленная в силу уравнений возмущенного движения, была
бы функцией определенно-отрицательной или удовлетворяла условиям теоремы
Красовского. Если такие коэффициенты ац,- можно найти, то невозмущенное
движение будет асимптотически устойчиво. Этот метод применим не всегда,
но в некоторых случаях он дает хорошие результаты. Прежде чем перейти к
рассмотрению примера, заметим, что от умножения па постоянное
положительное число свойства функции V не изменяются. Поэтому один
коэффициент функции (2.20), например агт, можно положить равным единице.
Пример. Даны нелинейные уравнения возмущенного движения Хх = ахj Ъхх2
= сххх2 + ех5). (2.21
Требуется определить, каким условиям должны удовлетворять параметры
системы я, Ь, с и е, чтобы невозмущенное движение хх = = х2 = 0 было
асимптотически устойчиво.
Будем искать функцию V в форме (2.20)
V - -гр (Я.гх -|- 2\ixiXz + яф, (2.22)
где Яиц пока не определены. Критерий Сильвестра (2.9) для матрицы
коэффициентов
Я ц ц, 1
имеет вид
Аг =~ Я > 0, Ао Я - ц2 > 0. (2.23)
Считая, что эти неравенства выполнены, вычислим производную К
К = {Ъхх + цх2) Д + (цац + х2) х2.
Внесем сюда значения хх и х2 из уравнений (2.21), тогда получим.
V = (кхх + flx2) (ахх -f- bxl) -f- (р-н -f- х2) (сххх2 -f- ех2) или,
раскрывая скобки и группируя члены,
V = Яяхх + (ЯЬ -f- с) х1а?3 + ех2 + р (яххх2 -f- Ьх3 + сх^х2 -f-
еххх2).
При р Ф 0 эта функция будет знакопеременной. Поэтому, не
нарушая условия (2.23), положим р = 0. При этом производная V примет вид
квадратичной формы относительно хх и х']:
У - Яях2 -f- (Яб + с) ххх3 ех\. (2.24)
§ 2.5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
Постараемся подобрать неопределенный множитель X > 0 так, зтобы эта
квадратичная форма была определенно-отрицательной. Для этого составим
главные диагональные миноры матрицы коэффициентов. Имеем
= Ха, А* = Хае - (ХЬ + с)2/4.
Для того чтобы квадратичная форма (2.24) относительно хг и х] была
определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы был выполнен
критерий Сильвестра (2.10). В нашем случае это дает два неравенства:
Ха < 0, Хае - {ХЬ + с)2/4 > П. (2.25)
Для выполнения этих неравенств при X 0 необходимо потребовать прежде
всего, чтобы коэффициенты а и е исходной системы (2.21) удовлетворяли
условию
а < 0, е < 0. (2.26)
Преобразуем теперь второе соотношение (2.25) к виду
Ьп-Х2 + 2 (6с - 2ае) X + с2 < 0. (2.27)
Это квадратичное неравенство можно удовлетворить при X > О, если оба
корня Х1 и Х2 левой части будут вещественными и положительными.
Действительно, в этом случае для всех X, удовлетворяющих условию Xj < X <
Хг, будет справедливо неравенство (2.27). Для этого нужно, чтобы
дискриминант трехчлена был положителен, а коэффициент при X в первой
степени отрицателен:
(6с - 2ае)2 - Ь2с2 )> 0, 6с - 2ае <( О
или
Аае {ае - 6с) )> 0, Ьс <( 2ае.
Так как, согласно (2.26), произведение ае положительно, то оба последние
неравенства будут удовлетворены, если
Ьс < ае. (2.28)
Теперь можно подвести итоги. Если параметры я, 6, сие системы (2.21)
удовлетворяют условиям
я < О, е < 0, 6с < ае, (2.29)
то при ц = 0 и Xj <; X < Х2, где ^ и Х2 - корни левой части неравенства
(2.27), функция V, определенная равенством (2.22), будет определенно-
положительной, а ее полная производная по времени, вычисленная в силу
уравнений возмущенного движения (2.21), будет функцией определенно-
отрицательной. На основании соответствующей теоремы Ляпунова заключаем,
что при выполнении условий (2.29) невозмущенное движение хх = х2 = 0
системы (2.21) асимптотически устойчиво.
Теорема Барбашина - Красовского позволяет сделать более сильное
утверждение: если параметры системы (2.21) удовлетворяют неравенствам
(2.29), то невозмущенное движение хх - хг = 0 будет устойчиво в целом.
Читатель легко докажет это самостоятельно.
56
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
3. Построение функции Ляпунова с помощью связки интегралов.
Предположим, что уравнения возмущенного движения (1.17) допускают
интеграл
F (хг, . . ., хп) = h = const, (2.30)
для которого разность F (х) - F (0) является определенно-положительной
функцией переменных хи . . ., хп. Тогда в качестве функции Ляпунова можно
взять функцию
V = F{Xl,...,xn)-F{ 0). (2.31)
