Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
(),х2 = 0) асимптотически устойчиво.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости предъявляет очень
высокие требования к функции V и к ее производной V (они должны быть
знакоопределенными функциями разных знаков). Н. Н. Красовский показал,
что требования, налагаемые на производную V, могут быть ослаблены.
Пусть производная V (х) функции V (х), вычисленная в силу уравнений
возмущенного движения (1.17), является не знакоопределенной, а только
знакопостоянной функцией переменных х. Обозначим через К многообразие
(множество, совокупность) точек из области (2.1),
ГЛ. TI. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
в котором F = 0, причем в ото многообразие не включается начало координат
х = О, где V = О всегда. Многообразие К может представлять поверхность,
линию, их комбинацию и т. п.
Теорема Красовского об асимптотической устойчивости. Если для
дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) можно найти
определенно-положительную в области (2.1) функцию V такую, что ее
производная V удовлетворяет в этой области двум условиям:
1) F < 0 вне К,
2) V = 0 на К,
где К - многообразие точек, не содержащее целых траекторий системы при 0
t < оо, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Строгое аналитическое доказательство этой теоремы можно найти в книге Н.
Н. Красовского [27] и в третьем дополнении редактора 2-го издания книги
И. Г. Малкина [37]. Мы же ограничимся наглядной геометрической
иллюстрацией теоремы.
Обозначим через М изображающую точку дифференциальных уравнений (1.17)
возмущенного движения. По условию теоремы во всех точках окрестности нуля
F ^ О (F < О вне К и V = 0 на К). Из этого следует, что траектория у
изображающей точки М в области (2.1) не может пересечь поверхность V = с
изнутри наружу (см. с. 35).
Если точка М находится вне многообразия К, то ее траектория у будет
пересекать замкнутые поверхности V = Cj снаружи внутрь. Действительно, по
условию теоремы функция V определенно-положительна, а вне К производная F
<С 0 (рис. 2.7 х)). Предположим теперь, что при своем движении
изображающая точка М попала на многообразие К. Очевидно, что на этом
многообразии
Рис. 2.7
х) На рис. 2.7 многообразие К имеет условное изображение.
§ 2.3. ТЕОРЕМЫ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 43
точка М движется по поверхности V = с2 (на К производная V = 0). Так как
многообразие К не содержит целых траекторий системы, то точка М должна
покинуть это многообразие, причем в месте схода траектория у, касаясь
поверхности V = с2, войдет внутрь нее (ибо вне К она пересекает эти
поверхности снаружи внутрь - см. рис. 2.7).
В дальнейшем точка М может снова попасть на многообразие К и будет
двигаться по новой поверхности V (х) = с3, расположенной ближе к началу
координат,
чем поверхность V(x) = с2 (с3 < с2, так как после схода точки М с
поверхности V = с2 производная У < 0 и, следовательно, функция V
убывает). Этот процесс может неоднократно повторяться, причем
изображающая точка М будет неограниченно приближаться к началу координат
(строгое доказательство теоремы сводится по существу к аналитическому
описанию этого процесса).
Из приведенного обоснования теоремы Красовского видно, в чем состоит
отличие в поведении функции V в условиях его теоремы от поведения этой
функции в условиях теоремы Ляпунова. Для асимптотической устойчивости
теорема Ляпунова требует, чтобы при t -оо функция V стремилась к нулю
монотонно (рис. 2.8, а); Красовский ослабил это условие и показал, что
для асимптотической устойчивости функция V может стремиться к нулю не
монотонно, а ступенчато (на рис. 2.8,6 горизонтальные участки графика
функции V соответствуют нахождению изображающей точки М на многообразии
К).
Остановимся кратко на определении условий, при выполнении которых
многообразие К не будет содержать целых траекторий дифференциальных
уравнений возмущенного движения (1.7).
V
6)
t
t
1 я 1 н
Рис. 2.8
Вне В I На | В-'? В\На\ Вне В
44
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Выбрав определенно-положительную функцию V, вычислим ее производную V.
Предположим, что производная не определенно-отрицательная, а просто
отрицательная функция, т. е. она может принимать помимо отрицательных
также и нулевые значения. Совокупность тех значений xv . . ., хп, при
которых производная V обращается в нуль (кроме начала координат)
определяет многообразие К. На вопрос, содержит или не содержит это
многообразие целые траектории уравнений (1.17), можно во многих случаях
ответить непосредственной проверкой. Для этого достаточно внести
уравнение многообразия (если его можно написать в явном виде) в
дифференциальные уравнения возмущенного движения. Если при этом уравнения
обращаются в тождества, то многообразие К содержит целые траектории; в
противном случае не содержит.
В тех случаях, когда многообразие К представляет некоторую поверхность
F [х-у, . . ., хп) = 0,
достаточно составить скалярное произведение U • grad F, где U - скорость
изображающей точки М.
