Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если это произведение тождественно равно нулю, то скорость U будет все
время перпендикулярна к grad F, т. е. к нормали поверхности F = 0. Это
означает, что траектория у изображающей точки М лежит всеми своими
точками на этой поверхности (рис. 2.9). Таким образом, для того чтобы
целые траектории дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17)
не принадлежали поверхности F = 0, достаточно, чтобы скалярное
произведение 17* grad F не равнялось нулю тождественно [37]
П
U • grad F - X] ф 0. (2.15)
Pt 3
§ 2,3. ТЕОРЕМЫ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 45
Пример. В § 2.2 были рассмотрены следующие дифференциальные уравнения
возмущенного движения:
•?! = ¦-Хх + Зх2" $2 - -х1хг -
Определенно-положительная функция V =1/2{х\ + х\)
имеет в силу уравнений возмущенного движения отрицательную производную
К = - - аф2.
Так как производная Т не определешю-отрицательная, а просто отрицательная
функция, то теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости применить
нельзя. Попытаемся воспользоваться теоремой Красовского. Множество К
найдем, приравняв производную V к нулю:
F - хх - х\ = О
(на плоскости хх, х2 это парабола).
Составим скалярное произведение (2.15)
U.gndF = X1*L+Xt
иХ\ дх%
или, подставляя соответствующие величины и учитывая, что на К
хх = х\,
U-graAF = (-хх -j- 3аф-1 + (-ххх2 - х(r)) (-2х2) = 2х(r) + Ьх\.
Это выражение не обращается в нуль (точка х = 0, как обычно,
исключается), поэтому многообразие F = хх - х\ = 0 не содержит целых
траекторий. Теперь видно, что выполнены все условия теоремы Красовского
об асимптотической устойчивости. Действительно:
1) функция V определенно-положительна; 2) производная V па К равна
нулю, а вне К она отрицательна; 3) многообразие К не содержит целых
траекторий. Следовательно, рассматриваемое движение асимптотически
устойчиво.
Теорема Ляпунова и обобщение Красовского устанавливают достаточные
условия асимптотической устойчивости в малом, т. е. при малых начальных
возмущениях. Е. А. Барбашину и Н. Н. Красовскому принадлежит теорема,
определяющая достаточные условия асимптотической устойчивости при любых
начальных возмущениях.
Теорема Барбашина - Красовского. Если для дифференциальных уравнений
возмущенного движения можно найти определенно-положительную функцию V
(х), удовлетворяющую условию
lim V (х) - оо, (2.16)
46
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
производная которой, вычисленная в силу этих уравнений, удовлетворяет при
всех х двум условиям:
1) Р < 0 вне К,
2) Р = 0 на К,
где К - многообразие точек, не содержащее целых траекторий системы при 0
^ t < оо, то невозмущенное движение х = 0 устойчиво в целом (символ х ->
оо " равенстве (2.16) означает, что хотя бы одна координата х1; стремится
к бесконечности по любому закону).
Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы (см., например, [5, 6,
27]), покажем необходимость условия (2.16). При доказательстве теоремы
Ляпунова об асимптотической устойчивости решающее значение имеют два
свойства знакоопределенных функций V:
1) в окрестности нуля поверхности V (х) = с замкнуты;
2) неограниченное стремление знакоопределенной функции V (х) к нулю
свидетельствует о стремлении изображающей точки к началу координат.
При рассмотрении устойчивости в целом необходимо учитывать, что
координаты хк могут принимать большие по модулю значения (хотя бы в
начале движения). Поэтому, если условие (2.16) не выполнено, то может
оказаться, что поверхности V (х) = с, замкнутые при достаточно малых
(жк|, будут разомкнуты при больших | хк | . В результате значения функции
V (х) могут убывать, а изображающая точка не будет стремиться к началу
координат.
Не вдаваясь в подробный анализ, поясним сказанное примером, взятым из
[6]. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид
dx 2х j_
Tt ~ (1 -f х2)2 + У'
d?_ 2x . 2y <2Л7>
dt (1 + x2)2 (1 + x2)2
Функция
V
•2
'1 -j- x'
очевидно, определенно-положительна, а ее производная, вычисленная в силу
уравнений возмущенного движения,
V = - 4 Г f! + V± 1
определенно-отрицательна на всей плоскости (х, у).
§ ТЕОРЕМЫ OK АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 47
На основании теоремы Ляпунова можно утверждать, что невозмущенное
движение х = О, у = 0 асимптотически устойчиво при малых начальных
возмущениях. Однако теорему Барбашина - Кра-совского об устойчивости
движения в целом применить нельзя, так как условие (2.16) не выполнено.
Действительно, при г -" оо и у = *= а = const функция V стремится к 1 +
о2, а не к бесконечности, как требует условие (2.16).
Рис. 2.10
Покажем, что система (2.17), асимптотически устойчивая в малом, не
является устойчивой в целом. Для этого рассмотрим поверхности
V = + у2 = с,
11-х2
или, решая относительно у,
У :: | "-1 +
1
I х2
Отсюда видно, что при 0 < с <( 1 поверхности V (х) - с будут замкнуты, а
при с 1 - разомкнуты (рис. 2.10).
Рассмотрим теперь кривую
''-2+rqh (2Л8)
и найдем угловой коэффициент касательпой к этой кривой
2х
к = УХ = ~
(l-1-.т2)2
На кривой (2.18) дифференциальные уравнепия возмущенного движения (2.17)
