Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
С11 С12 09 ¦ * ¦ С1п
С21 Cl2 С2Ъ * • • С2П
СИ1 С32 С33 ' • ' С3 п
СпХ сп% СПЗ ' * * Спп
(2.7)
и составим из нее п главных диагональных миноров (в матрице (2.7) они
окантованы пунктиром)
Ai = Си, Аг
С11 с12 С21 с22
С11 • ' • ст
ст * * Спп
. (2.8)
В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра [9, 14]:
для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была
определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные
диагональные миноры Дъ Д2, . . ., А" матрицы ее коэффициентов были
положительны, т. е.
Дг>0, Д, > 0, . . Д" > 0. (2.9)
Из сказанного следует, что критерий Сильвестра (2.9) для квадратичной
части функции V является достаточным (но не необходимым) условием
определенной положительности самой функции V.
Если функция V определенно-отрицательна, то функция - V будет
определенно-положительной. Поэтому достаточным условием определенной
отрицательности функции V будет критерий Сильвестра (2.9) для матрицы -С.
Этот критерий имеет вид
ДхСО, Д2>0, Д3<0, ..., (2.10)
т. е. определители Дj должны последовательно чередовать знак, причем знак
Дх = си должен бъль отрица-
тельным.
В качестве примера рассмотрим функцию
У = 1 + sin2 xt - cos (хх - х3).
§ 2.1. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА. КРИТЕРИИ СИЛЬВЕСТРА 33
Разложим эту функцию в ряд по степеням xL и х.,. Имеем
Sin2 Х\- л-2 + .. cos {ху - х2) = I - -1 {ху - я2)а+ . .
где точками обозначены члены, содержащие ху и х2 в степени выше второй.
Внося эти выражения для sin2 ху и cos (хх - х2) в функцию V, получим
V = 1 + я2 - 1 + .1 (ад - х2)* + ...
или, упрощая,
V - - (Зх' - 2хух2 -|- хg) + . . .
Составим матрицу коэффициентов квадратичной части функции V (по главной
диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, элементы с12 и с21
равпы половине коэффициента при произведении хух2):
II -1 1 II '
Вычислим теперь главные диагональные миноры:
3 -1
= 3, Д3 =
= 2.
Отсюда следует, что условие Сильвестра выполнено (все А; > 0) и поэтому
рассматриваемая функция V в окрестности нуля определенно-положительна.
Заметим, что на всей плоскости хух2 функция V только положительна, так
как при хг = х2 = пп Ф 0 (п = 1, 2, . . .) она обращается в нуль.
Может оказаться, что разложение знакоопределенной функции V в ряд по
степеням хи . . ., хп начинается не с членов второго, а с членов более
высокого порядка. К сожалению, общих приемов исследования функции на
знакоопределенность в этом случае нет, но можно указать на один
необходимый признак: разложение знакоопределенной функции в ряд по
степеням хи . . х1г не может начинаться с членов нечетной степени (для
членов первой степени это было уже показано (см. примечание к формуле
(2.4)). Действительно, пусть разложение знакоопределенной функции V в ряд
по степеням хъ . . ., хп начинается с членов (2к + 1)-й степени, где к -
целое положительное число. Положим х2 = . . . ... - хп = ху. При этих
значениях ху функция V примет вид
V = Axlk+1+ Bxlk+*+...
Здесь А и В постоянные, а точками обозначены члены порядка выше 2к + 2.
При ху, достаточно малом по мо-
2 Д. Г. Меркни
34
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
дулю, знак функции V будет совпадать со знаком первого члена. Но этот
член меняет знак при изменении знака хх. Следовательно, при А Ф О функция
F будет знакопеременной, что доказывает сделанное замечание.
Перейдем к изучению свойств функции F. Покажем прежде всего, что если
функция V знакоопределенная, то поверхность V (хъ . . ., хп) = с
замкнута.
V=c
а)
б)
Рис. 2.2
При доказательстве, не нарушая общности, можно считать, что функция V
определенно-положительна. Возьмем сферу Их] = р и пусть I - наименьшее
значение функции V на этой сфере, так что на сфере р функция V
удовлетворяет неравенству
V">1.
Число I больше нуля, так как функция V определенноположительна и,
следовательно, на сфере р она не может принимать нулевые или
отрицательные значения.
Построим поверхность F = с, выбрав число с <С I. Будем двигаться из
начала координат О по произвольной прямой OL до сферы р (рис. 2,2, а).
При этом перемещении функция V будет меняться от нуля до некоторого числа
FH, большего с (так как F^ > I Д> с). Следовательно, в силу непрерывности
в некоторой промежуточной точке М функция F принимает значение, равное с,
т. е. прямая OL пересекает в этой точке поверхность V = с. Так как прямая
OL произвольна, то эта поверхность замкнута.
Заметим, что свойство замкнутости поверхности F = с справедливо только
для знакоопределенных функций. Для знакопостоянных или знакопеременных
функций поверхности V = с разомкнуты.
§ 2.1. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА. КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА
35
Из этого доказательства вытекают два следствия:
1. Если | с | | сл |, то поверхность V = сх находится
внутри поверхности V = с, причем обе поверхности не имеют общих точек
(функции V по определению однозначны) (рис. 2.2, б).
2. Если изображающая точка М перемещается в сторону возрастания
определенно-положительной функции V, то траектория этой точки пересекает
