Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
= /j. + хк- После подстановки в уравнения
(1.35) получим
/к.+ в1гЛ-+21 +
3
Учитывая, чт ./],..., /га удовлетворяют уравнениям
(1.35), найдем
'И
*h- = S "кЛ (* = 1,2,.. ., га). (1.36).
1=г
Таким образом, уравнения возмущенного движения линейной неоднородной
системы представляют однородную часть уравнений движения (1.35). Анализ
последних и решает вопрос об устойчивости движения 1/г = А (г), . . ., ул
= /" (/)¦
ГЛАВА II
ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА (АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ)
§ 2.1. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра
Одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости движения
является прямой метод Ляпунова (очень часто этот метод называется вторым
методом Ляпунова). В этой главе прямой метод будет изложен для автономных
систем (неавтономные системы рассматриваются в гл. VII).
Изучение прямого метода начнем с рассмотрения кекоторых вещественных
функций V (х) = V (хг, . . ., хп), определенных в области
S-ZjCp,. (2.1)
где р - постоянное положительное число.
Предполагается, что в области (2.1) эти функции однозначны, непрерывны и
обращаются в нуль, когда все хх, . . ., хп равны нулю, т. е.
V (0) = 0. (2.2)
Если в области (2.1) функция V кроме нуля может принимать значения только
одного знака, то она называется знакопостоянной (соответственно
положительной или отрицательной). Если же знакопостоянная функция
обращается в нуль только в том случае, когда все Хх, ¦ . • . . ., хп
равны нулю, то функция V называется знакоопределенной (соответственно
определенно-положительной или определенно-отрицательной). Функции,
принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются
знакопеременными функциями. Введенные таким образом функции V,
используемые для исследования устойчивости движения, называются функциями
Ляпунова.
Рассмотрим два примера.
1. Функция
F = ж] + 5ж)
30 ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
при хх и х2, не равных нулю одновременно, принимает положительные
значения и обращается в нуль только при х1 = х2 = 0. Следовательно, эта
функция определенно-положительна. В пространстве хх, х2, V поверхность V
= хх + 5х* расположена по одну сторону от плоскости хх, х2, касаясь ее
только в начале координат (рис. 2.1, о).
2. Функция
V = х\ - 1ххх2 + х} = {хх - х2)2
не может принимать отрицательные значения, но в нуль она обращается не
только в начале координат хх = х2 = 0, но и на прямой
хх - х2, V = 0. Следовательно, эта функция положительна, но не
определенно-положительна. В этом случае поверхность V = (хх - - х2)2 в
пространстве xr, х2, V также находится по одну сторону плоскости хх, х2,
но касается ее не в одной точке, а по прямой .г, = = х2, V = 0 (рис. 2.1,
б).
Из определения и этого примера видно, что положительную (отрицательную)
функцию в указанном смысле можно назвать также неотрицательной
(неположительной) функцией. Из сделанных определений видно, что
знакоопределенная функция имеет при хх = . . . = хп = = 0 экстремум
(минимум для определенно-положительной функции и максимум для
определенно-отрицательной функции). Знакопостоянная же функция в начале
координат экстремума не имеет, так как в окрестности начала координат
имеются точки, в которых функция V принимает значения, равные V (0) = 0
(во втором примере эти точки расположены на прямой хх = х2, V = С).
Остановимся на признаках, с помощью которых можно определить характер
функции V. Прежде всего заметим, что знакоопределениая функция V должна
содержать все переменные хх, . . ., ха. Действительно, пусть, на-
§ 2.1. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА. КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА
31
пример, функция V не содержит переменную х". Тогда при хг = . . . = хи-х
= 0, хп Ф 0 функция V будет 'обращаться в нуль, что недопустимо для
знакоопределенных функций.
Пусть знакоопределенная функция V = V (х) непрерывна вместе со своими
производными. Тогда при х} = . . . = хп - 0 она будет иметь изолированный
экстремум и, следовательно, все частные производные первого порядка,
вычисленные в этой точке, будут равны нулю (необходимые условия
существования экстремума)
Разложим функцию V в ряд Маклорена по степеням
где точками обозначены члены высшего порядка. Учитывая соотношения (2.2)
и (2.3), получим
Здесь постоянные числа c]:j - cjk определены равенствами
Из формулы (2.4) видно, что разложение знакоопределенной функции V в ряд
по степеням хъ . . ., хп не содержит членов первой степени.
Предположим, что квадратичная форма
принимает положительные значения и в нуль обращается только при хх = . .
. = хп = 0. Тогда вне зависимости от членов высшего порядка при
достаточно малых по модулю х} функция V будет принимать также
положительные значения и в нуль она бхгет обращаться только при хх = ¦ ¦
¦ = хп = 0. Таким образом, если квадратич-
ен. 0 (/=--¦!(2.3)
п п
v=4~XfJlCkjXkXj+¦¦¦ (2-4)
1н1 }= 1
(2.5)
П П
(2.6)
fr=1 3=1
32
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
пая форма (2.6) определенно-положительна, то и функция V будет
определенно-положительной.
Рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы (2.6)
