Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через ух, . . ., уп вещественные переменные, характеризующие
состояние механической, электромеханической или какой-нибудь другой
системы. Этими переменными могут быть координаты, скорости, токи,
напряжения, температуры и т. п. или функции этих величин. Предполагается,
что число переменных уг, •••, уп конечно и что движение системы (процесс
изменения переменных Ух, . . ., уп во времени) опысывается обыкновенными
дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены относительно
производных по времени *)
¦^- = Yi(yi,...,yn, t),
(1.1)
dy
1 n {У1, • • •! Уп I 0'
В этих уравнениях Ух, . . ., Yn - известные функции переменных ух, . . .,
уп и времени t, удовлетворяющие условиям существования и единственности
решения. Если все функции Уи не зависят явно от времени t, то система
называется автономной, в противном случае - неавтономной. Заметим, что
при решении конкретных задач уравнения движения не обязательно приводить
к виду (1.1), в частности, их можно представить как одно или несколько
уравнений высшего порядка.
Некоторое вполне определенное движение системы, подлежащее исследованию
на устойчивость, называется невозмущенным движением. Невозмущенному
движению системы отвечает определенное частное решение
У\ ~ /г (0> ¦ ¦ ¦> Уп = in (t) (1.2)
х) Формулы нумеруются двумя числами: первое число означает номер главы,
второе - номер формулы в этой главе.
и
ГЛ. I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
дифференциальных уравнений (1.1), удовлетворяющее начальным условиям:
при t = ух = fx (t"), . . ., уп = fn (t0). (1.3)
Изменим условия (1.3), дав начальным значениям переменных ух, уп
небольшие по модулю приращения
Ej,, . . ., е", а именно пусть теперь
при t =- t0: ух = A (t0) + е1; . . ., уп = /" (t0) + еп.
(1.4)
Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (1.4),
называется возмущенным движением, а величины el5 . . ., е" -
возмущениями.
Обозначим значения переменных ух в возмущенном движении через yx(t), а в
невозмущзнном движении через A (t) и составим разности между ними
Я] = Vi (t) - /; (0 (/ = 1, • • ., /г). (1.5)
Переменные Xj называются отклонениями или вариациями величин у]. Если все
отклонения равны нулю, то есть
хх = 0, = 0, . . ., хп = 0, (1.6)
то возмущенное движение ух (t) будет совпадать с невоз-мущенным движением
(t), иначе говоря, невозмущенному движению отвечают нулевые значения
переменных xj.
В дальнейшем для удобства изложения будем пользоваться часто языком
геометрии. Совокупность отклонении хх, . . хп в /г-мерном пространстве
переменных хх, . . хп определяет точку М (она называется изображающей
точкой) х). В возмущенном движении при изменении величин хх, . . хп
изображающая точка М будет описывать некоторую траекторию у. Невозмущен-
х) В обычном трехмерном евклидовом пространстве совокупность трех чисел
хх, х2, х3 определяет точку М. Обобщая это понятие, под точкой М в га-
мерном пространстве переменных .г,, . . хп понимают совокупность га чисел
хх, . . ., хп. Расстояние г от этой точки до начала О ортогональной
координатной системы Оххх2 . . . хп определяется равенством
Продолжая обобщение понятий, существующих в обычном трехмерном евклидовом
•пространстве, говорят, что всякое уравнение / (tj, . . ., хп) - 0
определяет в пространстве п измерений некоторую поверхность, в частности,
уравнение х'х + . . . + xft -- г2 определяет в га-мерном пространстве
сферу радиуса г.
§ 1.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
15
ному движению Xj - 0 отвечает, неподвижная точка - начало координат.
Отклонение возмущенного движения от невозмущенного движения определяется
величинами Xj (t). Если все Xj (t) малы по модулю, то будет мала и сумма
их квадратов
11
Н-3'-! + • • • Хп - - -rj) (1-^)
3=1
если же отклонение хотя бы одной координаты будет велико, то сумма (1.7)
будет велика. Обратное утверждение, очевидно, также справедливо. Поэтому
в качестве меры отклонения возмущенного движения от невозмущенного
движения можно выбрать величину суммы (1.7). Так как сумма (1.7) равна
квадрату расстояния от изображающей точки М до начала координат, то это
расстояние характеризует отклонение возмущенного движения от
невозмущенного.
Согласно определению возмущенного движения и равенствам (1.4), (1.5),
будем иметь
при t = t0: xj = xoj = г} (/ = 1, . . .,n), (1.8)
т. е. начальные значения отклонений хЛj представляют возмущения системы.
Примем следующее определение Ляпунова. Если по любому положительному
числу е, как бы оно мало ни было, можно найти такое положительное число
б, что при всяких возмущениях x0j, удовлетворяющих условию
24 <s, (1.9)
и при любом t .> t(j будет выполняться неравенство
5Jx|<e, (1.10)
то невозмущенное движение устойчиво, в противном
случае - неустойчиво.
Геометрически это определение означает следующее. Рассмотрим сферу 2ж] =
е. Выберем радиус |Ае этой
сферы произвольно малым. Если движение устойчиво, то для этой сферы
должна найтись другая сфера 2xj = б радиуса Y^-> обладающая следующим
