Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
возпикшей проблемы. Исследования Дж. К. Максвелла (1868 г.), И. А.
Вышнеградского
10
ВВЕДЕНИЕ
(1876-1877 гг.) и других показали, что решение как этой задачи, так и
общее развитие теории регулирования требует, прежде всего, установления
критериев устойчивости движения.
В конце XIX столетия появились работы, в которых вопросы устойчивости
движения трактовались с общих позиций. Так, в 1877 -1884 гг. были
опубликованы монографии Э. Дж. Рауса 156, 57], а в 1882 г. - докторская
диссертация Н. Е. Жуковского [20], в которых авторы, пользуясь различными
методами, рассмотрели ряд общих вопросов устойчивости движения. Некоторые
результаты и методы, развитые ими, не утратили своего значения и в наши
дни.
Основной недостаток работ того времени состоял в том, что при анализе
уравнений возмущенного движения авторы исходили из линеаризованных
уравнений возмущенного движения и не рассматривали влияния членов высшего
порядка. Так, например, если уравнения возмущенного движения имеют вид
dx1
- ахг + ах 1 V х\
da
dt
axi -I- ax-2 V x'l + x\,
(*)
то, согласно рекомендациям авторов тех лет, их можно упростить, отбросив
нелинейные члены, т. е. заменить уравнения (*) уравнениями
dzi
¦ Yu ¦ -
dx.z (**)
ЧГ ~ ахъ
и судить устойчиво или неустойчиво движение не по уравнениям (*), а по
уравнениям (**). Между тем вывод об устойчивости движения, основанный на
линейных уравнениях (**), ничего общего не имеет с результатом анализа
точных уравнений (*) (см. пример на с. 20-21).
В 1892 г. была опубликована докторская диссертация А. М. Ляпунова "Общая
задача об устойчивости движения". Эта работа содержит так много
плодотворных идей и результатов первостепенного значения, что всю историю
теории устойчивости движения не без основания делят на доляпуновский и
послеляпуновский периоды. В кратком введении невозможно дать обзор всего,
что внес А. М. Ля-
ВВЕДЕНИЕ
11
пунов в теорию устойчивости движения. Полностью оценить его работу может
только специалист, хорошо знающий предмет. Поэтому мы ограничимся здесь
указанием на некоторые результаты, принадлежащие А. М. Ляпунову.
Прежде всего А. М. Ляпунов дал строгое определение устойчивости движения.
Отсутствие такого определения приводило часто к недоразумениям, так как
движение устойчивое в одном смысле может оказаться неустойчивым в другом
понимании этих слов, и наоборот. Определение А. М. Ляпунова оказалось
настолько удачным, что оно принято как основное всеми учеными.
А. М. Ляпунову принадлежит постановка задачи об устойчивости движения по
уравнениям первого приближения, когда об устойчивости можно судить по
линеаризованным уравнениям без необходимости привлечения к анализу точных
уравнений. Он дал полное решение этой задачи для так называемых
установившихся движений, когда уравнения возмущенного движения не
содержат время t в явной форме, и для большого класса неустано-вившихся
движений, причем особенно подробно им были изучены периодические
движения. А. М. Ляпунов предложил два основных метода исследования
устойчивости движения, из них второй метод, или, как сейчас принято
называть его, прямой метод, получил наибольшее распространение благодаря
своей простоте и эффективности. Он поставил вопрос об обратимости теоремы
Лагранжа и доказал ее для двух частных случаев.
После А. М. Ляпунова теория устойчивости движения развивалась по
различным направлениям. Углублялись методы и уточнялись результаты самого
А. М. Ляпунова, расширялся круг понятий, введенных А. М. Ляпуновым в
теорию устойчивости движения, в частности, усилия многих ученых были
направлены на определение условий устойчивости при больших начальных и
постоянно действующих возмущениях, а также на копечном промежутке времени
и при случайных силах. Возникло также направление, которое условно можно
назвать прикладным. Речь идет не о многочисленных, ежедневно возникающих
в науке и технике частных задачах, решаемых с помощью уже развитой
теории, а о создании общих методов исследования устойчивости движения
отдельных, достаточно обширных классов систем (системы автоматического
регулирования, управляемые системы и т. п.).
12
ВВЕДЕНИЕ
Теория устойчивости движения широко применяется в физике, астрономии,
химии и даже биологии (см., например, [466]). Особо важное
значение'теория устойчивости движения имеет для техники. Корабль,
самолет, ракета при своем движении должны устойчиво сохранять заданный
курс. Турбины, генераторы должны устойчиво сохранять заданный режим
работы. Гироскопический компас должен устойчиво показывать направление
географического меридиана и т. п.
В заключение отметим, что теория устойчивости движения еще далека от
завершения. Она продолжает развиваться, охватывая все более широкий круг
вопросов. В ее разработке принимают участие много ученых различных стран.
Перечислить все имена практически невозможно, некоторые из них будут
названы в тексте книги.
ГЛАВА I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
§ 1.1. Основные определения
