Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
называются неустановившимися и установившимися движениями соответственно.
В дальнейшем для сокращения записи совокупность отклонений хи . . ., хп
будем часто обозначать одной буквой х (в главе V этому будет дано
смысловое обоснование). В соответствии с этим для автономной Системы
будем иметь
Xj Xj (xi, . . ., хп) Xj (ж), а для неавтономной системы
X; Xj {Xj, • . ., X7L, t') Xj (ж, t).
22
ГЛ. I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Из вывода уравнений возмущенного движения видно, что при х = 0 (то есть
при хх = х2 - . . . = хп = 0)
все функции Xj обращаются в нуль:
Xj(0,t) = 0. (1.18)
Нормальная форма дифференциальных уравнений возмущенного движения
допускает простую геометрическую интерпретацию. Действительно, как уже
отмечалось, в возмущенном движении изображающая точка М описывает в
пространстве хъ . . хп некоторую траекторию у. Скорость U движения точки
М направлена по касательной к этой траектории, а ее проекции определяются
равенствами *)
Uf-
dx:
dt
ur
dx"
dt
x) Если elt . . ., en - единичные векторы ортогональной системы Охг, . .
., хп, то разложение любого вектора а по координатным ортам в и-мерном
пространстве имеет вид
а - -)- ... -f- япеп,
где аи . . ., ап - проекции вектора а на соответствующие оси. Модуль а
вектора а определяется равенством
а = Y+ а\ + . . . + а\,
производная da/dt вектора а будет da da\
dt
dt
da _____n
dt
а ее проекции
!da\ dai
\dt) i dt
da\ dt Jn
da
a
dt
Радиус-вектор г изображающей точки M равен '• = xiei -I- xnen,
а ее скорость
dr dx\
dt dt 1
dx
a
dt
§ 1.3. ПРИМЕРЫ HA СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
23
или, пользуясь уравнениями (1.16),
Ul = X1,...,Un = Xn. (1.19)
Следовательно, правые части нормальных уравнений возмущенного движения
(1.16) равны проекциям скорости U изображающей точки М (рис. 1.3).
В заключение отметим, что при решении конкретных задач уравнения
возмущенного движения можно не приводить к нормальной форме (1.16) или к
виду
(1.12), в частности, их можно представить как одно или несколько
уравнений высшего порядка.
§ 1.3. Примеры на составление уравнений
возмущенного движения
Поясним общие методы составления дифференциальных уравнений возмущенного
движения на трех примерах.
Пример 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения конического
маятника. Рассмотрим материальную точку УП массой т, подвешенную на
невесомой нити ОМ к точке О (сферический маятник). Будем считать, что
длина нити равна I. Положение точки М будем определять углами i(i и 0,
значения которых видны на рис. 1.4 (ось Oz вертикальна, ось х'
параллельна неподвижной горизонтальной оси х, прямая MN перпендикулярна
оси Oz).
Кинетическая и потенциальная энергии сферического маятника определяются
равенствами
Т = -i_ ml2 (О2 -|- ф2 sin2 0),
П = mgl (i - со i 0). (1.20)
Пользуясь уравнениями Лагранжа
dt, ,90 50 50 ' dt дф йф Зф '
составим дифференциальные уравнения движения сферического маятника:
mZ20 - mZ2i|i2 sin 0 cos 0 + mgl sin 0 - 0, ml2ф sin2 0 + 2mZ20ij) sin 0
cos 0 - 0,
Рис. 1.4
24 ГЛ. I. ПОСТАНОВКА .ЗАДАЧИ
или, после очевидных упрощений,
0 = - - sin 0 Д- гр- sin 0 cos О,
\ . (1-21)
¦ф = - 20 ф ctg 0.
Полоншм
0 = Уи 0 = #2> Ф = Уз- (1.22)
Теперь уравнения движения сферического маятника принимают вид уравнений
(1.1):
?/1 - У2,
Ь'2 = - -у sill Ух -|- у\ sin ух cos у1г (1.23)
.'з = - 2угу3 c,tg ух.
Рассмотрим движение маятника по горизонтально расположенной окружности с
постоянной скоростью (конический маятник). В этом случае будем иметь
О - yL = jfj (i) а - const,
0 = У, = /а(0 =- 0, (1.24)
Ф = Уз =¦ /з (0 <" = const.
Подставив эти значения для ух, у2 и у3 в (1.23), получим из вто-
рого уравнения (первое и третье уравнения обращаются в тождества)
to2 cos а - - . (1-26)
I '
Конечно, это условие, которому должны удовлетворять параметры конического
маятника, можно получить из элементарных соображений, например, применяя
принцип Даламбера.
За невозмущенное движение примем движение, определяемое равенствами
(1.24). В соответствии с общей теорией положим
Ух - а + хх, у2 = х2, у3 = со + хз (1.26)
и внесем эти значения для у1: у2 и у3 в уравнения (1.23). У читывая, что
а и со - постоянные, получим дифференциальные уравнения возмущенного
движения в нормальной форме (1.17):
$Х = хг,
= --у sin (a Д- хх) Д- (и) Д- ,r3)2sin (а Д- хг) cos (а Д- хх), (1.27)
Ч = - 2^2 (ю Д- х3) ctg (а Д- хх).
Легко видеть, что правые части этих уравнений обращаются при Хх = х2 ---
,tj = 0 в нули (во втором уравнении нужно учесть равенство (1.25)), т. е.
они удовлетворяют условиям (1.18). Разлагая правые части в ряды по
степеням xt, х2 и хэ и ограничиваясь членами первого порядка малости,
получим уравнения первого
g 1.3. ПРИМЕРЫ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
25
приближения
*1 = *2>
г2 = -ю2 sin2 а,.х1 -j- w sin 2а-х3, (1.28)
¦г3 = -2со ctg а .za,
при этом учтено равенство (1.25).
В следующем примере будет показано, что при составлении дифференциальных
уравнений возмущенного движения можно не прибегать к уравнениям движения
