Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
системы в форме (1.1).
Пример 2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения центра масс
искусственного спутника Земли. Будем предполагать, что на спутник
действуют только силы притяжения Земли, приводящиеся к одной
равнодействующей F, приложенной к центру масс спутника, причем модуль ее
определяется законом всемирного тяготепия:
F = p(tm). (1.29)
,2
Здесь р = gR2 = fM - гравитационный параметр Земли (R - ее радиус, g -
ускорение силы тяжести на поверхности Земля, М - ее масса, / -
гравитационная постоянная), г =~ ОС - расстояние от центра Земли О до
центра масс С спутника, т - его масса.
Рис. 1.5
Рассмотрим равномерное движение центра масс искусственного спутника по
круговой орбите радиуса г0, лежащей в плоскости it (рис. 1.5, а). Такое
движение называется также стационарным движением искусственного спутника
Земли (см. § 3.4). Параметры, определяющие стационарное движение
спутника, должны удовлетворять следующему условию, непосредственно
вытекающему из второго закона Ньютона (mr0co2 = pWr2):
ьЛ-ц = р, (1.30)
где со = ф = const - угловая скорость вращения радиуса-в^кюра г0 спутника
в стационарном движении.
26
ГЛ. I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Предположим, что на это движение спутника Земли наложены некоторые
возмущения (это равносильно тому, что при отделении спутника от последней
ступени ракеты незначительно нарушены условия, которые должны были
обеспечить движение искусственного спутника по круговой орбите радиуса
г0, лежащей в плоскости я). В результате наложенных возмущений спутник
начнет совершать возмущенное движение, в частности, орбита уже не будет
круговой, движение не будет происходить в плоскости я, угловая скорость
<р вращения радиуса-вектора не будет равна У р/г(r).
Для составления уравнений возмущенного движения спутника построим систему
отсчета Oxyz, координатная плоскость ху которой совмещена с плоскостью
орбиты в стационарном движении, т. е. с плоскостью п. Положение центра
масс С искусственного спутника в возмущенном движении будем определять
сферическими координатами г, <р, 0 (рис. 1.5, 6). Кинетическая Т и
потенциальная П энергии спутника определяются равенствами (в сделанных
предположениях вращательное движение спутника не влияет на движение его
центра масс и, следовательно, из рассмотрения может быть исключено):
Г = (tm) (г2 + г*02 + г2 соо2 0ф2), П = - р- . (1.31)
2 г
Имея в виду изучить устойчивость стационарного движения искусственного
спутника относительно величин г, г, 0, 0 и <р, составим уравнения
возмущенного движения. Для этого воспользуемся уравнениями Лагранжа
второго рода:
d дТ дТ ап , г, ,
~Т7 •ут- -X = д (?,'-= Г, 0,ф).
dtdf. dq. dqj J
Составим сначала уравнение для координаты г. Имеем
дТ d дТ дТ л, ,
- = тог, .--------= тог, - = mrv! mr со. i 0ф2,
dr dt dr dr
an |Ato
dr r2
Внеся полученные выражения в уравнение Лагранжа для координаты г, найдем
mr - mr02 - mr cos2 0ф2 = - Ц - ,
;.2
или, сократив на массу то и положив г = г0 -f- i и ф - со + у, получим
уравнения возмущенного движения искусственного спутника (уравнения для 0
и ф получены аналогично)
•г - (гО + х) 02 - (со + х) cos2 0- (со + у)2 = - [L_ ,
(Со + х)2
(г0 + х) '0 + 2гд + (г0 + х) cos 0 sin 0 • (со + у)г - 0, (1.32)
A[(r0+ xf cos20-(co + y)] =0. at
§ 1.3. ПРИМЕРЫ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 27
Прежде чем привести эти три дифференциальных уравнения возмущенного
движения спутника Земли (два из них второго порядка, а одно - иервого) к
нормальному виду, введем для общности новые обозначения:
X = Ху, X = хг, 0 = Х3, 0 = Ху, у - хъ.
Внеся эти выражения в уравнения (1.32) и решив их относительно
производных, получим дифференциальные уравнения возмущенного движения в
нормальной форме:
dx,
-- = Ха,
dt
= (г0+ Ху) [х2 + cos2s3 (со + Хгоу-} - - ,
dt 4 Но + анг
^ = (1-33)
at
rJf±. = - 2 х*х* . - JL (о) + xbf sin 2х-л, dt ru -j- xy 2
^5 = - 2---^- (to -]- x5) + 2xt (to -|- x5) tg x3.
dt г о -f- Xy
Легко видеть, что правые части этих уравнений обращаются
в нуль при ху = . . . = хь = 0, т. е. они удовлетворяют условиям (1.18)
(во втором уравнении нужно учесть равенство (1.30)). Разлагая правые
части в ряды и ограничиваясь членами первого порядка относительно ху, . .
., х5, получим дифференциальные уравнения первого приближения
возмущенного движения искусственного спутника Земли:
dx у
= За>2ху -ф- 2г0 м%,
dt
^ = *4, (1.34)
at
= - 2шгх3,
at
dXs. 9 со
^----х2*
at г0
При выводе этих уравнений было принято во внимание равенство
(1.30).
Пример 3. Уравнения возмущенного движения линейных систем. Рассмотрим
важный для приложений случай, когда движение системы описывается
неоднородными линейными дифференциальными уравнениями
У к 2 а1;)У) + Т'к (') п), (1-35)
г-л
28
ГЛ. I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
где aicj и /¦'/,¦ - заданные функции времени (в частности, они могут быть
постоянными числами).
Предположим, что требуется определить устойчивость какого-либо движения
этой системы ft (t), . . ., fn (t). Воспользуемся равенствами (1.5): г/j.
