Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
учебными пособиями, а научными монографиями. Книги же, построенные как
учебные руководства, рассчитаны, как правило, на студентов математико-
механических факультетов университетов, имеющих специальную
математическую подготовку. Для лиц, знающих математику в объеме высшего
технического учебного заведения, эти книги малодоступны.
Настоящая книга рассчитана в основном на студентов и преподавателей
втузов, а также на инженеров и научных работников, использующих теорию
устойчивости движения в своей работе. Б связи с этим в книге применяется
математический аппарат, не выходящий за рамки курса
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
математики, читаемого почти во всех высших технических учебных
заведениях. Необходимые дополнительные сведения из курса математики
приводятся в книге.
В целях упрощения изложения вначале рассматриваются автономные системы и
только в седьмой главе изучается устойчивость движений неавтономных
систем. С этой же целью доказательство некоторых теорем приведено в
упрощающих предположениях. Во всех этих случаях оговаривается, в чем
состоит упрощение и где мож-по найти доказательство, свободное от
сделанных ограничений.
Основное внимание в книге уделено наиболее эффективным методам
исследования устойчивости движения - прямому методу Ляпунова и
исследованию устойчивости -по уравнениям первого приближения. Отдельные
главы посвящены исследованию устойчивости движения по структуре
действующих сил, устойчивости движения неавтономных систем, в том числе
систем, возмущенное движение которых описывается линейными
дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами.
В восьмой главе излагается применение прямого метода Ляпунова к
исследованию устойчивости систем автоматического регулирования и,
пакопец, последняя, девятая глава посвящепа применению частотных методов
к исследованию устойчивости движения.
Учитывая, что лица, впервые изучающие теорию устойчивости движения,
испытывают обычно затруднения в применении ее к решению практических
задач, в книге большое внимапие уделено подбору и решению примеров,
взятых из различных областей науки и техники; значительная часть примеров
имеет самостоятельное значение.
В основу настоящего руководства положен курс лекций, читанный в течение
ряда лет автором в Ленинградском государственном университете на
факультете повышения квалификации преподавателей теоретической мехапики.
Большое влияние на содержание и характер
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
книги оказали многочисленные консультации инженеров и научных работников
научно-исследовательских институтов Ленинграда по различным вопросам
теории устойчивости движения и ее приложений.
В настоящее, третье издание книги (первое издание вышло в свет в 1971 г.,
второе - в 1976 г.) добавлены новые примеры, в нем учтены некоторые
работы, опубликованные после выхода второго издания, пересмотрен текст
книги, исправлены замеченные опечатки.
При подготовке первого издания книги большую помощь автору оказали чл.-
кор. АН СССР А. И. Лурье, чл.-кор. АН СССР В. В. Румянцев, доценты Б. А.
Смольников и Б. Л. Минцберг. Большая часть девятой главы написана А. X.
Гелигом. Много ценных замечаний сделал по второму и третьему изданиям
чл.-кор. АН СССР В. В. Румянцев. Автор пользуется случаем выразить всем
перечисленным лицам свою искреннюю благодарность.
Д. Р. Меркин
ВВЕДЕНИЕ
Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении
равновесных положений системы. Простое наблюдение показывает, что
некоторые положения равновесия системы устойчивы к небольшим возмущениям,
а другие принципиально возможные равновесные положения практически не
могут быть реализованы. Так, например, если маятник занимает нижнее
положение, то небольшие возмущения могут вызвать только колебания его.
Если же после некоторых, усилий удастся установить маятник в верхнем
положении, то малейший толчок вызовет его падение. Конечно, в данном
примере вопрос об устойчивости решается элементарно, но в общем случае
далеко не всегда ясно, при каких условиях равновесное положение системы
будет устойчиво. В 1644 г. критерий устойчивости равновесия системы тел,
находящихся под действием сил тяжести, в общем виде сформулировал Е.
Торричелли, а в 1788 г. Ж. Лагранж доказал теорему, определяющую
достаточные условия устойчивости равновесия произвольной консервативной
системы (см. § 3.1).
В середине XIX столетия в науке и технике возникли проблемы,
потребовавшие постановки общей задачи об устойчивости не только
равновесия, но и движения. Укажем на одну из них.
Центробежные регуляторы, установленные на паровых машинах небольшой
мощности, устойчиво сохраняли заданные обороты двигателя. С увеличением
мощности машин регуляторы, построенные по тем же схемам, не только не
обеспечивали надежное регулирование, но даже разгоняли двигатели,
создавая неустойчивый режим работы (см. пример 3 § 4.5). Это непонятное
для инженеров и техников тех лет явлепие вызвало серьезный кризис в
двпгателестроении и потребовало усилий ученых многих стран для решения
