Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
свойством. Изображающая точка М, начав свое движение из любого положения
Мо, лежащего внутри или на поверхности сферы
[6
ГЛ. Т. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
б1), при своем дальнейшем движении остается всегда внутри сферы е,
никогда не достигая ее поверхности (рис. 1.1)2). Если же возмущенное
движение неустойчиво, то хотя бы одна траектория изображающей точки М с
течением времени пересечет сферу е изнутри наружу
при сколь угодно близком положении точки М к началу координат.
Практически устойчивость данного невозмущенного движения означает, что
при достаточно малых начальных возмущениях возмущенное движение будет
сколь угодно мало отличаться от невозмущенного движения. Если же
невозмущенное движение неустойчиво, то возмущенное движение будет
отходить от него, как бы малы ни были начальные возмущения.
Если невозмущенное движение устойчиво и при этом любое возмущенное
движение при достаточно малых начальных возмущениях стремится к
невозмущенному движению, т. е. если
lim 2j^j (0 = 0, (1.11)
(->ОС
то невозмущенкое движение называется асимптотически устойчивым. Заметим,
что одного предельного условия
(1.11) недостаточно для асимптотической устойчивости - необходимо,
чтобы помимо этого условия движение было устойчивым. Геометрически это
означает, что при асимптотической устойчивости изображающая точка должна
неограниченно стремиться к началу координат, не выходя из сферы е (см.
пример на с. 20-21).
Кроме пространства отклонений хи . . ., хп рассмотрим пространство
исходных переменных уг, . . ., уп. Совокупность значений уъ . . ., уп
определяет в этом пространстве некоторую точку N. Пусть в невозмущенном
движении (1.2) точка N описывает траекторию I, а в возму-
1) Будем для простоты сферу с радиусом Yб (аналогично е) называть сферой
б (или сферой е).
2) Для наглядности все рисунки, соответствующие га-мерному пространству,
строятся для п = 2.
§ 1.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
17
щенном движении - траекторию II (рис. 1.2, а). Возьмем на этих
траекториях две произвольные точки N л N', отвечающие одному и тому же
моменту времени t. Квадрат расстояния г между этими точками равен
Г2 = 2 (у; - fj)2 = S(r)*.
При устойчивом движении траектория II близка к траектории I (г всегда
меньше е), а при асимптотической устойчивости траектория II неограниченно
стремится к траектории I (рис. 1.2, б).
Близость траекторий I и II-необходимое условие устойчивости движения, но
оно, конечно, недостаточно.
Действительно,расстояние между точками N и N', отвечающими одному и тому
же моменту времени, может возрастать не только для расходящихся, но и для
близких траекторий (рис. 1.2, в).
Может оказаться, что движение, устойчивое относительно одних переменных,
неустойчиво относительно других. Так, можно показать, что движение
искусственного спутника Земли по круговой орбите устойчиво относительно
его радиуса-вектора (орбитальная устойчивость) и неустойчиво относительно
декартовых координат. Поэтому, говоря об устойчивости движения,
необходимо всегда оговаривать, относительно каких величин рассматривается
устойчивость.
В тех случаях, когда асимптотическая устойчивость имеет место при любых
возмущениях (не обязательно малых), невозмущенное движение называется
устойчивым в целом.
Иногда устойчивость имеет место не при любых возмущениях, а при
возмущениях, подчиненных некоторым условиям. Такая устойчивость
называется условной.
Остановимся на особенностях определения устойчивости движения по
Ляпунову. Во-первых, предпола-
18
ГЛ. I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
гается, что возмущения налагаются только на начальные условия, иначе
говоря, возмущенное движение происходит при тех же силах (источниках
энергии), что и невозмущенное движение. Во-вторых, устойчивость
рассматривается на бесконечно большом промежутке времени. В-третьих,
возмущения предполагаются малыми. Несмотря на эти ограничения,
определение Ляпунова устойчивости движения является эффективным и
плодотворным в приложениях. Кроме того, методы, развитые Ляпуновым, очень
часто лежат в основе исследования других видов устойчивости движения *).
§ 1.2. Уравнения возмущенного движения
В тех случаях, когда известно общее решение дифференциальных уравнений
движения (1.1), можно непосредственно определить значения переменных i/j
(t) в возмущенном движении, составить вариации Xj - = У] (0 - fj (О и>
исследуя их, решить вопрос об устойчивости невозмущенного движения fj
(t).
Однако в подавляющем большинстве случаев общее решение дифференциальных
уравнений движения (1.1) неизвестно^ поэтому этот метод практически редко
может быть использован. Но даже в тех случаях, когда общее решение
дифференциальных уравнений (1.1) можно построить, ответ на вопрос -
устойчиво ли движение, целесообразно, как правило, искать не из анализа
общего решения, а с помощью методов, специально разработанных в общей
теории устойчивости движения. Эти методы основаны на качественном анализе
дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют
