Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности
grad V
а) б)
Рш\ 2.3
V с изнутри наружу, а при движении в сторону убывания функции V - снаружи
внутрь (для определенноотрицательной функции картина обратная). Конечно,
в общем случае все эти свойства справедливы только в достаточно малой
окрестности нуля.
Выберем на поверхности V (х) = с произвольную точку 71/ и вычислим в этой
точке вектор grad V:
j I/ dV . dV dV /о л
8'rad У = -ШГе1 + ^Тег + '" + ~дГ-
х п
где еъ е2, . . еп - орты осей хъ х2, . . хп.
Известно, что вектор grad V направлен по нормали к поверхности V = с в
точке М в сторону возрастания функции V. Из этого следует, что вектор
grad V направлен во внешнюю часть поверхности V - с, если функция
V определенно-положительна (рис. 2.3, а), и внутрь поверхности V = с,
если функция V определенно-отрицательна (рис. 2.3. б).
Одновременно с функцией V будем рассматривать ее полную производную V но
времени t, взятую в пред-
2*
36
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
положении, что переменные Xj удовлетвиряют дифференциальным уравнениям
возмущенного движения (1.17). Имеем
Tv dV 6V . , dV . , , dV .
dt dxj. Xl ^ dx2 ' • ' + dxn Xn'
или, учитывая уравнения (1.17),
- dV X1 + Z-X, + ... + ~Xn. (2.12)
dx
n
Напомним теперь, что величины равны проекциям скорости U изображающей
точки М, а производные
^ проекциям grad V. Поэтому правая часть равенства
(2.12) равна скалярному произведению векторов U и grad V *), т. е.
V - U -grad V. (2.13)
Знание производной V функции V позволяет наглядно проследить за движением
изображающей точки. Действительно, пусть в данный момент времени t
изображающая точка М занимает некоторое положение. Выберем какую-нибудь
определенно-положительную функцию V и построим поверхность V - с,
проходящую через точку М. Затем по формуле (2.12) вычислим в этой точке
производную V функции V. Рассмотрим три возможных случая.
1. В данном положении точки М производная V отрицательна
Г = -?<°-
Из этого следует, что функция V убывает, т. е. точка М переходит внутрь
поверхности V = с (следствие 2,
с. 35). Этот вывод можно получить и из равенства
(2.13). Так как Р < 0, то из формулы (2.13) заключаем, что угол между
скоростью U изображающей точки М и
*) Скалярное произведение двух векторов я и ft в re-мерном пространстве
равно, так же как и в обычном трехмерном пространстве, сумме произведений
одноименных проекций
я-ft = -(- а2Ь2 -}- ... -]- ОпЪп.
Угол между двумя векторами определяется равенством
a-b = ab cos а,
где о и Ъ - модули векторов а и ft. Угол а острый, если а-b > О, прямой,
если а-Ъ = 0, и тупой при а-ft < 0.
§ 2,2. ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОВ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 37
градиентом функции V тупой. Учитывая, что для определенно-положительной
функции V вектор grad V совпадает с внешней нормалью к поверхности V = с,
заключаем, что вектор U направлен внутрь этой поверхности. Иначе говоря,
траектория изображающей точки М пересекает поверхность V = с снаружи
внутрь (рис. 2.4, а).
grad V
I/=с а)
1ыс
6)
Рис. 2.4
2. В данном положении точки М производная Р = 0. Скалярное произведение
?7-grad V равно нулю, угол между этими векторами прямой, траектория
изображающей точки касается поверхности V = с (в частности, она может
целиком лежать на этой поверхности).
3. В данном положении V 0. Функция V возрастает, траектория изображающей
точки пересекает поверхность V = с изнутри наружу (угол между векторами U
и grad V острый) (рис. 2.4, б).
§ 2.2. Теорема Ляпунова об устойчивости движения
Теорема. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно
найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих
уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V,
или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Доказательство. Выберем произвольное, достаточно малое положительное
число е > 0 и построим сферу = в. Затем построим поверхность V ~ с,
лежащую внутри сферы е (рис. 2.5). Это можно всегда сделать,
38
гл. п. прямой метод Ляпунова
так как функция V непрерывна и равна нулю в начале координат. Выберем
теперь число б настолько малым, чтобы сфера = б целиком лежала внутри
поверхности V = с, не имея с ней общих точек. Покажем, что
изображающая точка М, начав движение из сферы б, никогда не дойдет до
сферы е, что и будет служить доказательством устойчивости движения.
Не нарушая общности', можно считать, что функция V определенно-
положительна (если V < 0, то можно взять функцию - F). По условию теоремы
ее производная, вычисленная в силу уравнении Рис. 2.5 возмущенного
движения, бу-
дет отрицательной функцией или тождественно равна нулю, т. е. V ^ 0.
Тогда из очевидного тождества
t
V-V0 = lVdt, (2.14)
г.
где V0 - значение функции V в начальной точке М0, будем иметь
V - V0 < 0
или
V < V0.
Из этого неравенства следует, что при t )> t0 изображающая точка М либо
находится на поверхности V - = F0 = сх (при V = 0), либо находится внутри
этой поверхности (рис. 2.5). Таким образом, изображающая точка М, начав
