Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
движение из положения М0, находящегося внутри или на поверхности сферы б,
никогда не выйдет за пределы поверхности V - сл и тем более не сможет
достигнуть поверхности сферы е. Это доказывает теорему.
Доказательство теоремы можно проиллюстрировать чисто геометрическими
соображениями. Из условия 0 следует, что траектория изображающей точки М
войдет внутрь поверхности V = с, или будет лежать на этой поверхности
(см. окончание § 2.1, рис. 2.4 и 2.5). В дальнейшем траектория
изображающей точки М пе сможет
§ 2.3. ТЕОРЕМЫ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 39
перейти во внешнюю часть поверхности V = си так как по условию теоремы
производная Р удовлетворяет неравенству V 0 во всех точках окрестности
нуля (для выхода наружу из поверхности V =. = Cj нужно, чтобы неравенство
V > 0 выполнялось хотя бы в одной точке).
Применение основных теорем прямого метода подробно будет рассмотрено в §
2.6 и §2.7, а сейчас приведем небольшой пример чисто иллюстративного
характера.
Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид
= -xL -|- З.т;, = -хгх2 - х
Возьмем определенно-положительную функцию
и вычислим ее производпую по времепп в силу уравнений возмущеп-пого
движения. Имеем
т> dv ¦ ^ ¦
1 7/7
Подставляя вместо и f2 их значения из уравнений возмущенного движения,
получим
V - хг (-хг + Зх\) + хг (-- х\) = - (^ - x'l)2.
Так как функция V определенно-положительна, а ее производная И -
отрицательная функция, то на основании доказанной теоремы Ляпунова можпо
утверждать, что невозмущенное движение хг = 0, хг = 0 рассматриваемой
системы устойчиво. В § 2.3 (с. 45), пользуясь другой теоремой, мы докажем
более сильное утверждение, а именно, что это движение не просто, а
асимптотически устойчиво.
§ 2.3. Теоремы об асимптотической устойчивости
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти
знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений
была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с V, то
невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Доказательство. Прежде всего заметим, что выполнены все условия теоремы
Ляпунова об устойчивости движения и, следовательно, изображающая точка не
выйдет из поверхности V = с1 (рис. 2.5). Однако в теореме .об
асимптотической устойчивости условия более сильные - производная V не
может тождественно равняться нулю и даже более - в нуль она обращается
только в начале координат (так как V знакоопределенная, а не знако-
40
ГЛ. II. ПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
постоянная функция). Поэтому изображающая точка М сразу после начала
движения входит внутрь поверхности V = с1.
Не нарушая общности, будем, как и раньше, считать, что функция V
определенно-положительна. По условию теоремы ее производная F
определенно-отрицательная функция. Из неравенства
следует, что функция F, оставаясь положительной, монотонно убывает. Это
означает, что функция V имеет предел
с2 0. Иначе говоря, изображающая точка М стремится с внешней стороны к
предельной поверхности V - с2 (рис. 2.6).
Покажем, что с2 = 0, т. е. поверхность V = с2 вырождается в точку -
начало координат. Предположим, что сг Ф 0. Тогда в замкнутой области,
заключенной между поверхностями V = су и V - с2, функция F по условию
теоремы будет отрицательна. Обозначим через - I, где I 0, ее точную
верхнюю границу в этой области, причем I ф 0, так как функция F
обращается в нуль только в начале координат. По определению точной
верхней границы имеем
F < -1.
Воспользуемся теперь тождеством (2.14)
Рис. 2.6
F = F0 +jlydt.
и
Учитывая соотношение V -I, получим неравенство
t
F < Fo -\ldt
или, интегрируя,
F < F0 - I (t - t0).
Согласно этому неравенству, функция F с течением времени сделается
отрицательной, что невозможно, так
§ 2.3. ТЕОРЕМЫ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 41
как по условию теоремы функция V определенно-положительна. Полученное
противоречие возникло из сделанного допущения, что с2 Ф 0. Таким образом,
с2 = 0 и изображающая точка асимптотически стремится к началу координат,
что доказывает теорему.
Проиллюстрируем теорему небольшим примером. Пусть уравнения возмущенного
движения имеют вид
I з 1 а
*1 = - х2 + xLx> - х° - - ХхХ~,
I
±2 = - Зх2 Т ХхХъ -|- X^X-i- _ XiXy.
А
Возьмем функцию V в следующей форме:
V = ~.(3^ - 2ххх2 + .rjj).
Эта функция определенно-положительна (условие Сильвестра для нее
проверялось на с. 33). Вычислим полную производную но времени от этой
функции:
Р = (Зхх - х2) - (хх - х2) х2.
Внесем сюда значения хг и х2 из уравнений возмущенного движения и
сгруппируем члены V = --f- 2х\х2 - 2х'2. Составим матрицу коэффициентов
этой функции, считая за переменные х\ и х2:
II-Э 1
I 1 -2
Имеем
-3 1
Ai - - 3 <Э 0, Д2 =
1 -2
= 5 > 0.
Выполнен критерий (2.10), и, следовательно, производная V - определенно-
отрицательная функция относительно ж(r) и х2 (тем самым и относительно хг и
х2). На основании последней теоремы Ляпунова невозмущенное движение (ад ~
