Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, производная функции V по времени в силу уравнений
возмущенного движения согласно интегралу (2.30) тождественно равна нулю
и, следовательно, эта функция будет удовлетворять всем условиям теоремы
Ляпунова об устойчивости движения (см. § 2.2).
В некоторых случаях дифференциальные уравнения возмущенного движения
допускают несколько интегралов
^ 1 O^l" • • •! Хп) • • ч Fm (^i> • • ч Хп) hmj (2.32)
где hu . . .,hm - постоянные интегрирования, причем
ни один из них не является определенно-положительной функцией. Для такого
случая Н. Г. Четаев [49] предло-жил искать функцию V в форме связки
интегралов (2.32). В общем виде эта связка имеет вид
V = K [F1 - (0)] + . . . + Хт [Fm - Fm (0)] +
+ Щ - F\ (0)] + . . + Хт [Fm - Fm (0)], (2.33)
где . . ., Xm, Xj, . . ., um - неопределенные постоянные.
Если постоянные и Xj удастся подобрать таким образом, что функция V будет
определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям
теоремы Ляпунова об устойчивости движения (так как V - const является
также интегралом уравнений возмущенного движения).
Метод Четаева построения функции Ляпунова с помощью связки интегралов
весьма эффективен. Прежде чем проиллюстрировать его на примерах (они
будут рассмотрены в следующем параграфе), сделаем несколько замечаний :
а) один из 2т коэффициентов Xj и Xj можно выбрать произвольно, например,
положив Хх - 1;
б) часто функцию V можно построить с помощью линейной связки интегралов,
положив все X] = 0. Члены
§ 2.6. ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА
57
с квадратами интегралов следует привлекать только в том ¦случае, если
линейная связка недостаточна;
в) во многих случаях интегралы уравнений возмущенного движения можно
построить из общих соображений (например, с помощью общих теорем
механики), не составляя самих уравнений. Этим приемом следует широко
пользоваться, избегая лишних преобразований.
Примеры на применение метода связки интегралов будут рассмотрены в § 2.6.
Заметим только, что этот метод был обобщен и послужил основой для
построения вектор-функции Ляпунова [12а].
§ 2.6. Примеры на применение теоремы Ляпунова об устойчивости движения
При исследовании устойчивости движения (не асимптотической, а простой
устойчивости) одним из наиболее эффективных методов является метод
Четаева построения связки интегралов. Б этом параграфе будут рассмотрены
примеры применения этого метода.
Пример 1. Устойчивость движения конического маятника. Рассмотрим
стационарноег) движение материальной точки М массой т, подвешенной на
невесомой нити длиной I и движущейся с постоянной скоростью под действием
силы тяжести по горизонтально расположенной окружности (конический
маятник (рис. 2.14, а)). Нить маятника, закрепленная в точке О, описывает
в стационарном движении круговой конус; обозначим угол между нитью и
вертикалью ООх через ос, а угловую скорость вращения нити вокруг
вертикали 001 через со. Между углом ос, угловой скоростью со и длиной
маятника I в стационарном движении существует хорошо известное
соотношение
со2 cos а - gll, (2.34)
которое может быть получено, например, с помощью принципа т> о
"/.
Даламбера. '
Примем стационарное движение маятника по окружности за невозмущенное
движение. Предположим, что на это движение наложены небольшие возмущения.
Обозначим угол между нитью и вер-
1) Термин "стационарное движение" будет более подробно разъяснен в § 3.4.
58 гл. п. прямой метод Ляпунова
тикалью ОО, в возмущенном движении через 0 (рис. 2.14, б), а угловую
скорость вращения плоскости ООхМ вокруг вертикали ()()х через ф.
Введем обозначения
0 = а + хи 0 - .г2, -ф а) j- xs. (2.35)
Будем изучать устойчивость невозмущенного движения отно-
сительно величин 0, 0 и ф. Кинетическая Т и потенциальная И энергии
маятника определяются равенствами
ml2 .
Т -= -(в2 ф sin2 0ф2), П = - mgl cos 0.
Так как действующая па маятник сила тяжести потенциальна, а координата ф
циклическая (кинетическая энергия Т зависит от обобщенной скорости ф, по
не зависит от координаты ф, и обобщенная сила, соответствующая этой
координате, равна пулю: =
= -Ш/йф - 0), то существуют два интеграла движения (h и п -
постоянные):
ml2 . . ml2
Г! - -2~ (°2 + siH2 01!'3) - mgl соя 0 --
д'Г
-г- - ml1 si и2 0ф - ml2n йф
(множители ml2!2 и ml2 введены для удобства).
Второе равенство представляет интеграл момента количества движения
маятника относительно вертикали 00х, и его можно получить из элементарных
соображений.
Пользуясь равенствами (2.35), запишем эти интегралы в следующей форме:
¦>
F\ (ад, xz, хъ) - [jq + sin2 (а + .rx) (со -| - .r3)2J - - cos (а ]- хх)
- /л,
(2.36)
Р2 х2, xs) = sin2 (а + хх) (со + х3) = п.
Интегралы (2.36) получены из общих теорем динамики. Конечно, можно было
сначала составить дифференциальные уравнения возмущенного движения
(1.27), а затем, комбинируя их, найти интегралы (2.36). Как уже было
отмечено ранее в § 2.5, выбранный здесь путь является, как правило, более
