Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
деформируемого участка (рис. 113):
в = (Z, - /)/1 = М/1
(45.1)
При в > 0 имеет место удлинение, при 8 < 0 - сжатие. Деформация сдвига
характеризуется относительным сдвигом (рис. 114,а):
у = tg а = | АВ |/| О А |.
(45.2)
Одно из направлений сдвига считается положительным (по соглашению), а
противоположное - отрицательным.
314 5. Твердые тела
Произвольная деформация характеризуется тремя удлинениями по осям
координат и тремя сдвигами параллельно трем координатным плоскостям, т.
е. всего шестью величинами.
Все остальные деформации выражаются через эти две элементарные. Например,
изгиб (рис. 115) является комбинацией неоднородного растяжения и сжатия.
Пунктиром на рисунке обозначена линия, вдоль которой нет никакой
деформации. Кручение сводится к деформации неоднородного сдвига (рис.
116).
Тензор деформаций. Шесть величин, которые описывают произвольную
деформацию, изменяются от точки к точке. Совокупность этих шести величин
составляет тензор деформаций.
Чтобы найти выражение этого тензора., рассмотрим деформированное тело. В
результате деформации точка тела с радиус-вектором г перемещается в точку
г', т. е. вектор смещения этой точки равен г' - г, а компоненты смещения
по осям координат равны ut = х- - хь причем мы полагаем хх = х, х2 = у,
х3 = z. Если между некоторыми двумя точками до деформирования расстояние
было равно
d I = |/dx? + dx\ + dx3, то после деформирования оно равно dГ - [(dxx +
dwx)2 + (dx2 4- dw2)2 + (dx3 + dw3)2]'/2. Для дальнейших преобразований
удобно воспользоваться правилом суммирования по дважды повторяющимся
индексам:
dI2 = (dxa + dwa)2 = dx2 4- 2 dxa dua + du\ =
= dI2 -I- 2dxa dua 4 du\. (45.3)
Учитывая, что
dua = (dujdx p) dxp, (45.4)
приводим равенство (45.3) к виду
dГ2 = dl2 + 2 -^-dxp dxa + 4^dxp dxa. (45.5)
Поскольку rio индексам a, (3 и у в формуле (45.5) производится
суммирование, они являются немыми индексами и могут быть заменены любыми
другими. В частности, очевидно,
dxp dx, = -^^dx, dxp, (45.6)
(vXp OXa
м
F
113. Относительное удлинение
поэтому формула (45.5) принимает вид dl'2 = d/2 + 2и,р dx, dx(,,
(45.7)
§ 45. Механические свойства твердых тел 315
ич
а)
где
дх,
- +
дир ^ диу диу
дхг
л,р с/ла дха дхр^
- тензор деформаций. Он является симметричным (мар = = ща) и поэтому
содержит в себе лишь шесть различных величин.
Известно, что симметричный тензор может быть приведен к главным осям,
когда он принимает диагональный вид. Очевидно, что такое приведение к
главным осям можно выполнить и для тензора пар. В этом случае отличными
от нуля будут только диагональные элементы Ыц, и22, и33 и формула (45.7)
записывается в виде
dI'2 = (1 + 2иц) dxj + (1 4- 2и22) dx\ + (1 -t- 2w33) dx3, (45.9)
т. е. деформация сводится к деформации простого сжатия (или растяжения)
по трем независимым взаимно перпендикулярным направлениям, совпадающим с
главными осями. Например, длина dxt в направлении оси Х1
становится равной dx* = dxx ]/l +2 и1х и т. д. Направление главных осей
при переходе от точки к точке изменяется, и поэтому при фиксированном
направлении осей тензор, вообще говоря, является недиагональным и
деформация не может быть представлена как совокупность независимых сжатий
или растяжений по этим трем неизменным направлениям.
В большинстве практически важных случаев деформации являются малыми, т.
е. |наР| 1. При этих условиях в выражении (45.8) можно пренебречь в
скобках третьим членом по сравнению с первыми двумя как величиной второго
порядка малости и считать, что
(45.8)
(45.10)
114. Относительный сдвиг (а); сдвиг как комбинация всестороннего сжатия
и растяжения (б)
Относительное удлинение по главным осям на основании (45.9) равно
dxx |/l 4- 2wn - dxt E' = *"*•¦ (45Л1)
где ]/l + 2ull % 1 + ulx при | un | <| 1.
Аналогично, удлинения по другим осям равны:
е2 ~ и22, ?3 ~ м33. (45.12)
316 5. Твердые тела
Некоторый объем dV = dx1 dx2 dx3 после деформации равен
dV' = dxx ]/Т + 2ыц dx2 ]/l -Ь 2w22dx3]/1 4- 2,w33 =
= dxt dx2 dx3 (1 + x) (1 4 u22) (1 4- w33) =
- dV (1 + Mji T w22 4 w33), (45.13)
и поэтому относительное изменение объема
(dF' - dV)/dV - wlx 4 u22 4 u33 - uaa
(45.14)
т. e. равно сумме диагональных элементов тензора деформаций.
Упругие напряжения. Как показывает эксперимент, относительное удлинение е
пропорционально силе и обратно пропорционально площади поперечного
сечения, к которому приложена растягивающая или сжимающая сила (см. рис.
113):
(45.15)
Здесь коэффициент пропорциональности записан в виде 1/Е (Е - модуль
Юнга); сила Е действует по нормали к поверхности S; F/S - а - нормальное
напряжение. Тогда формула (45.15) может быть представлена в виде
и = Ее
(45.16)
и дает значение нормального напряжения в зависимости от относительного
удлинения. Знак ст определяется знаком 8. Аналогично (см. рис. 114) для
деформации сдвига имеем
У = F/(GS), (45.17)
где G - модуль сдвига; F - тангенциальная сила, направленная по
касательной к поверхности; F/S = т - касательное напряжение. Тогда
