Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(для простоты выражений мы говорим об атомах, хотя это могут быть и
молекулы, и ионы), так и порождаемая ее повторением решетка являются,
вообще говоря, очень сложными образованиями. Поэтому всю решетку
целесообразно разбить на некоторые, более простые подрешетки, каждая из
которых была бы достаточно простой. Ясно, что эта подрешетка сама
является решеткой. Наиболее простой решеткой является решетка, состоящая
из параллелепипедов как элементарной совокупности атомов, повторением
которой исчерпывается вся решетка (рис. 101).
§ 43. Кристаллические решетки 305
101
101. Базис примитивной кристаллической решетки
Выбрав начало координат в некотором узле такой решетки, можно радиус-
вектор любого другого узла представить в виде
г = nxax + и2а2 + и3а3, (43.1)
где иь и2, п3 - целые числа (включая нуль). Векторы аь а2, а3 называются
базисными, а их совокупность - базисом решетки. Длины ребер аи а2, а3
называются основными периодами решетки. Параллелепипед с ребрами аь а2,
а3 вместе с атомами в его вершинах называется элементарной ячейкой
кристаллической решетки. Если в формуле (43.1) числа пх, п2, пъ пробегают
всевозможные независимые целочисленные значения от -оо до 4-оо, то
радиус-вектор г проходит все узлы решетки и нет никаких узлов решетки,
которые не охватывались бы формулой (43.1), Такая решетка называется
примитивной или решеткой Браве, а ее элементарная ячейка - примитивной
ячейкой.
Конкретная кристаллическая решетка, вообще говоря, не может быть
представлена в виде одной решетки Браве, а является совокупностью
нескольких решеток Браве. Поэтому она называется сложной.
Неоднозначность выбора базиса примитивной решетки. Выбор базиса даже
примитивной решетки не является однозначным. В этом легко убедиться по
рис. 102, где для двумерного случая параллельными пунктирными линиями
показаны два возможных построения примитивной решетки с различными
базисами. В первом случае базис составлен векторами и а2, во втором -
20 А. Н. Матвеев - 1488
306 5. Твердые тела
векторами ai, а'2. Элементарная ячейка в первом случае является
прямоугольным параллелограммом, во втором - непрямоугольным. Около
каждого атома в узле решетки в плоском случае располагается четыре
элементарных ячейки. Следовательно, площадь, занимаемая одним атомом в
решетке, равная общей площади, деленной на число атомов, равна площади
элементарной ячейки |at х а2 | в первом случае и \ъ\ х а2 | - во втором.
Как и следовало ожидать, площади элементарных ячеек в обоих случаях
равны, хотя базисы различны. Все эти выводы без труда переносятся на
трехмерный случай, в котором выбор элементарной кристаллической ячейки
также неоднозначен, однако объем элементарной ячейки при всевозможных
выборах базиса является неизменным и по формуле для объема
параллелепипеда равным
т0 = ага2ха3. (43.2)
Это есть объем, приходящийся в решетке на один атом.
Различные примитивные базисы отличаются друг от друга длиной базисных
векторов или, что то же самое, основными периодами решетки. Примитивная
решетка с минимальными основными периодами называется приведенной.
Определить, является некоторая заданная решетка примитивной или сложной,
не всегда легко с первого взгляда. Лучше всего это делать, рассматривая
всю решетку, а не ее небольшую часть, равную примерно элементарной
ячейке. Задача сводится к возможности проведения трех систем параллельных
плоскостей таким образом, чтобы все атомы решетки оказались в точках
пересечения плоскостей и не было бы атомов, не попавших в эти точки
пересечения плоскостей.
Рассмотрим в качестве примера плоскую решетку (рис. 103). Если в качестве
базисных взять векторы аь а2, то решетка представляется сложной,
поскольку атомы, находящиеся в центрах квадратов, не попадают в узлы
примитивной решетки, построенной на этом базисе. На первый взгляд
кажется, что для' учета этих узлов необходима еще одна примитивная
решетка и, следовательно, исходная решетка является сложной, а не
примитивной. Однако такое заключение неправильно. Возьмем в качестве
базисных векторы а'ь а2. В этом базисе вся исходная решетка может быть
представлена в виде одной примитивной решетки, т. е. исходная решетка
тоже является примитивной.
102
^Гх!>аХ1
tvTvt-ptv't
I ^ I | ' \ I А I
ч I ? \ /' \ \/ \ / \ • /
-Ф-X-X-X-
/!\ /К / i \ /is /in
102. Неоднозначность выбора базиса кристаллической решетки
§ 43. Кристаллические решетки 307
103
Ж" Ж -Ж
' 4 / I \ / I 4
I
\ / ' \ /'
X \ к I / 4 I / \ !
•V " х \ I N . /
а2
1 I \ Ж j I ъг 1
41 у
4 ^ а]- Ж"
/ , ч "1 / . \ /14
104
103. Определение примитивной решетки
104. К определению возможного порядка поворотных и зеркально-поворотной
осей в кристаллической решетке
Это очевидно, если посмотреть на систему пунктирных линий (рис. 103).
Трансляционная система. Ввиду бесконечной протяженности решетка обладает
кроме симметрий, характерных для твердых тел, трансляционной симметрией,
т. е. способностью совмещаться с собой в результате поступательного
