Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
перемещения. Например, если примитивную решетку переместить вдоль одного
из ребер элементарной ячейки на целое число основных периодов, то решетка
совпадет или совместится с собой. Если сместить решетку на вектор г,
определенный в (43.1), то решетка опять совпадает с собой. Поэтому вектор
г называется вектором трансляции. Пользуясь этой терминологией, можно
сказать, что вся примитивная решетка может быть получена из любого узла,
если его подвергнуть всевозможным трансляциям параллельно базисным
векторам.
Пространственные группы. Элементы симметрии твердого тела образуют
точечные группы симметрии. Если к ним добавить трансляционную симметрию,
характерную для периодических бесконечных структур, то совокупность этих
симметрий образует пространственную группу. Поэтому можно сказать, что
кристаллические решетки характеризуются пространственными группами
симметрий.
Элементы симметрии решетки. Прежде всего необходимо отметить, что
симметрии решетки в целом отличаются от симметрий ее элементарной ячейки.
Это очевидно из того, что элементарная ячейка выбирается неоднозначно, а
различные элементарные ячейки могут иметь различную симметрию. Поэтому
под симметрией решетки понимается симметрия именно решетки, а не ее
элементарной ячейки.
Ясно, что всякая примитивная решетка имеет центр симметрии, которым может
быть любой узел примитивного параллелепипеда, середины его ребер и центры
его граней. Плоскость симметрии также является элементом симметрии
решеток. Что же касается осей и зеркальноповоротных осей симметрии, то
они могут быть лишь осями 2, 3, 4 и 6-го периодов, а оси других порядков
невозможны. Для доказательства заметим, что при вращении атомы решетки
перемещаются в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Рассмотрим атомы, лежащие в некоторой плоскости. Они создают плоскую
кристаллическую решетку, узлы которой образуют систему правильных
одинаковых многоугольников, переходящих при вращении друг в друга
20*
308 5. Твердые тела
и, следовательно, плотно, без промежутков, покрывающих всю поверхность.
Рассмотрим точку О (рис. 104), в которой сходятся ребра примыкающих в
этой точке правильных многоугольников. Если р - число ребер, сходящихся в
этой точке, то угол между ребрами равен 2п/р. С другой стороны, угол
между сторонами правильного n-угольника равен тс(п - 2)/п.
При заполнении плоскости правильными многоугольниками без промежутков эти
углы равны:
2к/р = к(п - 2)1 п. (43.3)
Отсюда следует, что
р = 2 п/(п - 2), (43.4)
причем числа р и п должны быть целыми. Решениями этого уравнения в целых
числах р и п являются значения
п = 3, п = 4, п = 6. (43.5)
Таким образом, поверхность без промежутков можно покрыть равносторонними
треугольниками (п = 3): AAA/ квадратами (п = 4):
и правильными шестиугольниками (п - 6) (структура пчелиных сот):
Других правильных многоугольников, способных без промежутков покрыть
поверхность, не существует.
К ним добавляется, очевидно, возможная ось п = 2, соответствующая
отражению в плоскости, проходящей через ось, а также тривиальная ось п =
1, соответствующая углу поворота на 2к. Т4ким образом, у кристаллической
решетки возможны оси вращения только 2, 3, 4 и 6-го порядков. Аналогично
показывается, что и зеркально-поворотные оси могут быть только тех же
порядков.
В результате получается, что число элементов точечных групп симметрии у
кристаллических решеток конечно, а следовательно, конечно и число
возможных симметрий.
Кристаллические классы. Поскольку сложная кристаллическая решетка состоит
из решеток Браве, то классифицировать кристаллы в первую очередь
целесообразно по симметрии решеток Браве, причем под симметрией, как это
было только что сказано, понимается точечная симметрия. Такая
классификация была произведена Браве. Он показал, что хотя симметрия
решетки не обязательно совпадает с симметрией любой примитивной ячейки,
можно всегда найти такую примитивную ячейку, которая имеет те же элементы
симметрии, что и решетка в целом. Это возможно для всех решеток, за
исключением гексагональных, где примитивная ячейка не содержит всех
элементов симметрии, которые имеются у решетки в целом. Наименьшая из
примитивных ячеек, включающая в себя все элементы симметрии решетки,
называется ячейкой или параллелепипедом Браве.
Имеется шесть типов примитивных параллелепипедов Браве и поэтому с учетом
гексагональной решетки - всего семь типов решеток или семь типов
кристаллических систем. Помещение в центрах граней или в центре объема
параллелепипедов Браве новых атомов не изменяет симметрии решетки, но
добавляет новые
§ 43. Кристаллические решетки 30')
105
и-и
&-
' //
!
|Л
а)
ш
7 ' У1 А | й/ / /W \ К: V
1 1 1 1 * ч\ 41
"2
&
;йз У
б)
V ч
У
Л.
у/ \
г
аГ& Oj~" в)
"2
йз/Э-
г
/ -v1
L "з А
<9:- "<¦" 1 1 /
с)
105. Кристаллические классы и типы решеток.
Системы: а - кубическая, б - тетрагональная, в - гексагональная, г -
ромбоэдрическая, д - ромбическая, е - моноклинная, ж - триклинная
