Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Температура Эйнштейна. "Элементарная порция энергии" 8 зависит от свойств
вещества твердого тела, причем с увеличением "жесткости" вещества эта
величина возрастает, поскольку увеличивается частота со колебаний в
формуле (46.3). Эту энергию принято характеризовать посредством
температуры Эйнштейна 0Э, определяемой соотношением
Недостаточность теории Эйнштейна. Однако в количественном отношении
формула (46.12а) не согласуется с экспериментом, потому что она
предсказывает экспоненциальное уменьшение теплоемкости CV~ ехр [-
е/(/сТ)] при приближении к О К, а эксперимент дает лишь степенное
уменьшение CV~ Т3.
Таким образом, модель Эйнштейна для расчета теплоемкости непригодна и
должна быть заменена другой. Наряду с указанным выше количественным
несогласием результатов этой теории с экспериментом следует отметить ее
другой недостаток, имеющий принципиальный характер. Считается, что
твердое тело есть совокупность независимых линейных осцилляторов, энергии
которых задаются формулой (46.4), т. е. движения атомов в твердом теле
считаются столь же независимыми друг от друга, как движения атомов и
молекул в газах. Но это заведомо неправильно, поскольку само удержание
атомов около некоторых положений равновесия есть результат взаимодействия
атомов между собой. Поэтому в твердом теле нельзя рассматривать атомы как
независимые, необходимо принять во внимание их коллективные
взаимодействия. Именно учет этого взаимодействия атомов приводит к теории
теплоемкости, согласующейся с экспериментом.
Элементарные возбуждения. Система атомов, составляющих твердое тело, при
О К находится в основном состоянии с минимальной энергией. Чтобы
проанализировать
Cy-*3R[е/(/сТ)]2 ехр[-Е/(кТ)] -+0.
/с0э = в.
(46.126)
Формула (46.12а) может быть переписана:
_ 3R (0Э/Т)2 ехр (0Э/Т) [ехр(0э/Г) - I]2
(46.12в)
21*
324 5. Твердые тела
теплоемкость вблизи О К, необходимо найти те энергии, которые может иметь
система атомов вблизи О К. Предположим, что некоторый атом в результате
сообщения ему энергии извне движется из положения равновесия в некотором
направлении. Сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия, есть
просто сила отталкивания со стороны других атомов решетки. Поэтому,
выходя из положения равновесия, атом действует с определенными силами на
соседние атомы, которые в свою очередь должны покинуть свои положения
равновесия, в результате чего движение приобретает коллективный характер.
Такое коллективное движение атомов, когда смещение одного атома
передается соседнему, затем следующему соседнему и т.д., есть не что
иное, как звуковая волна в твердом теле. Таким образом, элементарными
возбуждениями являются звуковые колебания.
Нормальные моды. С учетом только что описанного взаимодействия система
атомов должна рассматриваться как совокупность связанных осцилляторов. В
этом случае любое движение системы атомов может быть представлено как
суперпозиция нормальных колебаний или нормальных мод системы. Каждая из
нормальных мод кроме прочего характеризуется своей частотой, а энергия
этой моды задается формулой (46.3), т. е. мода частоты щ имеет энергию
8i = Лсоь (46.13)
где постоянная для всех мод энергия с0 отброшена. В данном твердом теле
может быть возбуждено одно, два колебания (и больше) данной моды. Если
возбуждено п колебаний данной моды, то полная энергия этих п колебаний,
очевидно, равна
ein = nfmh (46.14)
Вероятность того, что с данной модой связана полная энергия ein,
считается подчиняющейся распределению Больцмана и, следовательно,
= А ехр [-eJ(kT)] = А ехр [- n&of/(fcT)], (46.15)
где А - нормировочный множитель. Эта формула аналогична (46.5). С ее
помощью можно вычислить среднюю энергию, приходящуюся на рассматриваемую
моду, а разделив эту энергию на энергию одного колебания моды, можно
сразу же получить среднее число колебаний данной моды, которые
возбуждены. Вычисления
совершенно аналогичны в математическом смысле тем, которые привели от
формулы (46.5) к формуле (46.10), и дают следующий результат:
<",> = = Э-Vn ficoA = г. * , . (46-16)
/коi h(Oi и ехр \_h(Di/(kT)] - 1
Теперь вопрос вычисления полной энергии возбуждения свелся к нахождению
частот нормальных мод и их числа.
'Фононы. Выражение (46.13) для энергии, связанной с модой колебаний
частоты cof, по аналогии с соответствующей формулой для энергии фотонов,
наводит на мысль рассматривать такую моду как квазичастицу. Это
представление было, в сущности, уже использовано, когда в (46.15) формула
Больцмана была применена для определения средней энергии в моде. Такая
квазичастица, связанная с модами звуковых колебаний, называется фононом.
Введение понятия фононов является плодотворным приемом, значительно
облегчающим рассуждения. Оно также весьма эффективно с чисто
математической точки зрения, так как формальные математические приемы
§ 46. Теплоемкость твердых тел 325
вычисления различных величин, связанных с фононами, аналогичны
соответствующим вычислениям, относящимся к фотонам. Эта аналогия
