Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
f(t - x/v) является решением этого уравнения. Поэтому фронт волны f =
const задается условием
t - x/v - const, (46.30)
из которого следует, что
(cbc/dt) = v, (46.31)
т. е. v является действительно скоростью распространения фронта волны.
Решение уравнений (46.28) и (46.29) будем искать в следующем виде:
р' = ро ехр [i (cot - /ос)], и = и0 ехр [i (cot - /ос)]. (46.32)
Подставляя (46.32) в (46.27), получаем алгебраические уравнения для
определения ро и и0:
- tcop'o + ikp0u0 = 0, ikv2 р0 - icop0w0 = 0. (46.33)
Для того чтобы эта однородная система имела нетривиальные (ненулевые)
решения для ро и и0, необходимо, чтобы определитель, составленный из
коэффициентов уравнения, был равен нулю:
/со //ср0
ikv2 - /сор о
= - со2р0 + k2v2p0 = 0, (46.34)
откуда
со = ± vk. (46.35)
Соотношение (46.35) выражает связь, существующую между частотой волны со
= 2п/Т и волновым числом к = litfk, где Т и X - период колебаний и длина
328 5. Твердые тела
волны. Это соотношение называется дисперсионным. В данном случае оно
имеет простой вид. Однако в других случаях оно может быть более сложным.
Это соотношение позволяет определить частоты колебаний, а следовательно,
и энергии соответствующих мод, если известны волновые числа.
Определение числа мод. В теле конечного размера возникают стоячие волны.
Границы тела свободно колеблются, на них никакие напряжения не возникают.
Возьмем тело в виде куба объемом L3 и поместим начало координат в одну из
вершин. Рассмотрим плоские стоячие волны по оси X. Обозначим ? отклонение
колеблющейся точки от положения равновесия. Поскольку поверхность куба
свободна, на ней при колебаниях не возникают никакие напряжения, т. е.
граничное условие имеет вид
где ю и к связаны равенством (46.35). Для того чтобы удовлетворить
(46.36), надо в (46.37) положить А - 0, а на к наложить условие
kL- т (n = 1, 2, ...).
Оно определяет дискретный набор волновых чисел, при которых возможно
существование стоячих волн. Аналогичные формулы находятся и для других
осей координат. Следовательно, получаем следующие наборы волновых чисел,
каждому из которых соответствует стоячая волна, составляющая моду
колебаний:
К = (tm)JL ку = кпу/Ь kz = nnJL (4638)
Числа пх, riy, nz пробегают все возможные значения независимо. Подсчет
числа мод сводится к определению числа различных троек числа (пх, пу, nz)
или, другими словами, к подсчету числа точек, декартовы координаты
которых равны (nx, пу, nz).
Число этих точек в объеме с длинами сторон Апх, Апу и Anz равно
AnxAnyAnz. Следовательно, число мод, соответствующее этим числам,
L3
dN = Апх Any Апг = ~^Г^кх dку dkz, (46.39)
где Апх = (L/n) dkx и т. д., как это непосредственно следует из (46.38).
В правой части (46.39) написаны дифференциалы dkx, dky, dkz, потому что L
много больше длины волн.
Для подсчета dN удобнее перейти к сферическим координатам (рис. 120),
принимая во внимание, что кх, ку, kz имеют лишь положительное значение.
Это означает, что в (46.39) надо положить dкх dку dkz = (4тх/8) к2 dk. В
результате для числа мод в интервале волновых чисел от к до к + dk из
(46.39) получаем выражение
(46.36)
VX х=о
х = L
Решение уравнения (46.29), удовлетворяющее условиям (46.36), имеет вид Е,
= ехр (iot) (A sin кх + В cos кх),
(46.37)
(пх=1,2,...), (пу =1,2,...), (nz = 1,2,...).
(46.40)
§ 46. Теплоемкость твердых тел 329
з
Р(Ю)=Р^"
120. Пространство волновых чисел
где множитель 4п сохранен без сокращения на (2л)3 в знаменателе для того,
чтобы подчеркнуть произведенный переход к сферическим координатам.
Далее воспользуемся соотношением (46.35), из которого
следует, что
к2 d к = (1/г3) ю2 do, (46.41)
п, следовательно, число мод с частотой колебаний между со и со + do равно
лпт ^
dJV= (2^VK,2d<°- {46Л2)
Плотность мод. Число мод, отнесенное к интервалу частот, называется
плотностью мод:
р(оо) = dN/dco.
Поэтому из (46.42) следует, что 4nL3
р(ш) =
(2 л)3 ir
ш
(46.43)
(46.44)
Аналогичные расчеты можно провести для каждой из поперечных мод. В
изотропном случае скорости обеих поперечных мод одинаковы. Обозначив
скорости продольной и поперечной мод соответственно гпр и гпп и приняв во
внимание, что плотность всех мод равна сумме плотностей отдельных мод,
напишем
, ч 4лЬ3 /1 2 \ 2
р(ю)= <46-45>
Чтобы не усложнять обозначений в (46.45), полная плотность мод показана
той же буквой, какой раньше в (46.44) была обозначена плотность мод одной
из поляризаций.
Отметим, что по самому смыслу предшествующих расчетов формула (46.45) не
может быть справедливой для очень коротких длин волн, поскольку мы
пренебрегли атомной структурой твердого тела и проводили расчет так, как
если бы оно состояло из непрерывно распределенной по его объему массы.
Для волн, длина волны которых существенно превосходит среднее расстояние
между атомами, а смещения атомов из положения равновесия не очень велики,
формула (46.45) является справедливой. Именно этот случай и интересен при
рассмотрении теплоемкости при низкой температуре.
