Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Матвеев А.Н. -> "Молекулярная физика. Том 2" -> 144

Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.

Матвеев А.Н. Молекулярная физика. Том 2 — М.: Высшая школа, 1981. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): molekulyarnayafizikat21981.djvu
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 181 >> Следующая

применимости. Дается вывод формулы теплоемкости на основе представления о
фононах.
Классическая теория. Моделью является кристаллическое твердое тело, атомы
которого колеблются около положений равновесия в узлах кристаллической
решетки. Каждый атом может независимо колебаться в трех взаимно
перпендикулярных направлениях, являясь относительно этого направления
линейным осциллятором. В соответствии с законом о равнораспределении
энергии по степеням свободы, каждый осциллятор обладает энергией
колебания кТ, которая состоит из кинетической кТ/2 и потенциальной кТ/2
энергий.
Таким образом, тело, состоящее из п атомов, вследствие теплового движения
обладает энергией
т. е. теплоемкость твердого тела является постоянной. Если взять моль
молекул вещества, то п является постоянной Авогадро NA, nk - R - молярная
газовая постоянная. Формула (46.2) показывает, что молярная теплоемкость
равна 3R и не зависит от температуры. Это закон Дюлонга и Пти.
Теплоемкость при низкой температуре. Так же как и в случае газов (см. §
17), опыты по измерению теплоемкости при низкой температуре показали, что
она зависит от температуры. При приближении температуры к О К
теплоемкость стремится к нулю по степенному закону Cv ~ Т3. Полученная в
экспериментах зависимость теплоемкости от температуры изображена на рис.
118. Заметим, что такое поведение теплоемкости от температуры наблюдается
лишь у неметаллических твердых тел, у которых единственной энергией,
связанной с тепловым движением, является энергия колебаний атомов в узлах
кристаллической решетки. У металлических тел имеются свободные электроны,
которые также участвуют в тепловом движении и дают вклад в теплоемкость.
Однако этот вклад невелик, поскольку в тепловом движении участвует лишь
небольшая доля электронов, энергии которых лежат вблизи энергии
поверхности Ферми. Лишь при низкой температуре, когда основная
теплоемкость сильно уменьшается, электронная теплоемкость становится
главной.
Модель Эйнштейна. Чтобы объяснить поведение теплоемкости в зависимости от
температуры, А. Эйнштейн в 1907 г. предложил воспользоваться
соображениями о дискретном характере энергий, которыми могут обладать
осцилляторы, образующие твердое тело, подобно тому, как это было сделано
ранее М. Планком для вывода формулы излучения абсолютно черного тела.
Пусть "элементарная" порция энергии, которой может обладать линейный
осциллятор, равна 8. Эту энергию можно считать связанной с некоторой
частотой колебаний осциллятора таким же соотношением, каким энергия
фотона связана с его частотой:
U = ЪпкТ,
(46.1)
а теплоемкость этого тела равна
Су= {ди/дТ)у= Зпк,
(46.2)
8 = /КО.
(46.3)
21 А. Н. Матвеев - 1488
322 5. Твердые тела
Вообще говоря, ниоткуда не следует, что минимальная П8 энергия
осциллятора равна нулю. Обозначим ее е0.
Для расчета теплоемкости ее точное значение не играет роли. Поэтому
возможные энергии, которыми может обладать осциллятор, представляются в
виде
= ?о + ие (п = 0, 1, 2, ...). (46.4)
Естественно предположить, что вероятность &п состояния осциллятора с
энергией г" задается формулой Больцмана. Поэтому можно написать $п = А
ехр [- вп/(кТУ] = А ехр [- (е0 + пе)/(кТ)1 (46.5)
где А - нормированная постоянная, определяемая условием нормировки
вероятности:
ОО ОО
X &п = ехр[- е0/(/сГ)]у4 ? ехр[- пеД/сТ)] = 1. (46.6)
и = О п = О
Теперь можно вычислить среднюю энергию осциллятора:
<?> = X ?"#" =
и = О
00 / оо
= ?0 + ? X п ехр [-ие/(/сТ)]/ X ехр [ -иеД/сТ)]. (46.7)
л=0 п=0
По формуле для геометрической прогрессии, Хехр[-ие/(кТ)] = {1 - ехр[-
8/(кГ)]}"1. (46.8)
Дифференцируя обе части этого равенства по ?, полу-
чаем
00
X п ехр [ -пеД/сТ)] =
= ехр [- ?/(/сТ)] {1 - ехр [ -вД/сТ)]}-2. (46.9)
Следовательно, выражение (46.7) принимает вид
(Е> = Е° + ехр[е/((сГ)] - 1 ' (4610)
# Движение совокупности связанных между собой осциллято- 118. Зависимость
теплоемкости ров описывается посредством учета нормальных мод коле-
неметаллических твердых
баний системы. Носителем энергии при этом является не тел от
температуры
отдельный осциллятор, а нормальная мода колебаний системы в целом,
которая рассматривается как квазичастица, называемая фононом.
Фононы и другие квазичастицы, являющиеся нормальными модами
соответствующих возбуждений (магноны, поляри-тоны, экситоны и т. д.), не
являются частицами в том же смысле, в каком являются частицами фотоны,
хотя математические схемы описания их поведения могут иметь много общего.
§ 46. Теплоемкость твердых тел 323
Отсюда для энергии колебаний одного моля осцилляторов получаем
(46.11)
Тогда теплоемкость при постоянном объеме
(
(46.12а)
Это формула Эйнштейна для теплоемкости. В качественном смысле поведение
теплоемкости в зависимости от температуры по этой формуле согласуется с
экспериментами, результаты которых представлены на рис. 118.
Действительно, из формулы (46.12а) видно, что при достаточно большой
температуре (Т-* оо) Cv -* 3R, а при Т -> О К получаем
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 181 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed