Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
обусловливается тем, что в обоих случаях мы имеем математически
одинаковые волновые процессы. Однако физическая сущность этих процессов
совершенно различна. Поэтому из факта существования фотонов как частиц,
которые обладают соответствующей энергией, обнаруживаемой
экспериментально, и могут существовать изолированно, отнюдь не следует,
что и фононы являются частицами с аналогичными свойствами. В современной
физике имеется большое число других аналогичных квазичастиц, являющихся
нормальными модами соответствующих возбуждений (магноны, поляритоны,
экси-тоны и т.д.). Сказанное выше о фононах справедливо также и
относительно этих квазичастиц.
Модель Дебая. В твердом теле возможно распространение продольных и
поперечных волн с различными скоростями. Поперечные волны могут иметь два
различных направления поляризации. Таким образом, можно говорить просто о
длинноволновых модах звуковых волн с тремя различными поляризациями,
каждая из которых, вообще говоря, различна и может зависеть от
направления распространения волны. Однако для упрощения будем
рассматривать случай изотропного твердого тела. Вычисление числа мод для
каждой поляризации совершенно одинаково. Теория теплоемкости Дебая
основывается на расчете числа мод звуковых колебаний твердого тела. К
сказанному выше следует лишь добавить, что речь идет о достаточно
длинноволновых модах, поскольку возбуждения вблизи температуры О К и
частоты колебаний должны соответствовать достаточно малым энергиям, т.е.
быть малыми.
Дисперсионное соотношение. Прежде всего выведем волновое уравнение,
например, для продольных волн, распространяющихся вдоль оси X (рис. 119).
Пусть имеется тонкий цилиндр, площадь основания которого S и высота Ах.
Обозначим: р(х, t) - плотность вещества, а р(х, г) -давление, которое в
нем возникает в результате изменения плотности; ы(х, t) - скорость
колебаний частиц вещества вдоль оси X. Эта скорость не является скоростью
распространения волны, а во много сотен раз меньше ее.
Напишем закон сохранения массы в объеме: изменение массы в объеме,
отнесенное ко времени: 5(pSAx)/dt, равно разности масс, вошедших в объем
и вышедших из него:
d = ^ ^ и (х' - Sp (* + Ах, t) и (х + Ах, t) = - S Ах (46.17)
О 1. В чем состоит принципиальный недостаток модели Эйнштейна для
теплоемкости твердого тела?
2. Почему наличие-электронной теплоемкости в металлах проявляется лишь
при близких к ОК температурах?
3. Что такое фонон? Какие другие элементарные возбуждения вы знаете?
4. Как температура Дебая связана со средней скоростью звука в веществе?
5. Откуда следует, что кривая теплоемкости как функция отношения
температуры к температуре Дебая является универсальной ?
326 5. Твердые тела
где последняя величина разложена в ряд Тейлора и сохра- i ^
нен лишь первый член, линейный по Дх. Остальные члены можно отбросить,
поскольку дальше Дх принимается за
бесконечно малую величину. После сокращения обеих _______________
частей (46.17) на SДх получаем уравнение
%+ ^ =0, (46.18)
ct дх
называемое уравнением непрерывности.
Сила, которая действует на массу в рассматриваемом объеме,
обусловливается разностью давлений р на разные стенки цилиндра.
Следовательно, уравнение Ньютона имеет вид
pSAxdu/dt = Sp(x, t) - Sp{x + Дх, t) = - SAxдр/дх (46.19) или
pf.i-o. <"*,
Изменения плотности и давления в среде можно считать малыми:
Р = Ро + Р\ Р = Ро + р', (46.21)
где ро и ро - постоянные плотность и давление в среде при отсутствии
волны; р' и р' - изменения плотности и давления, связанные с волной. Обе
эти величины являются малыми. Все дальнейшие вычисления проводятся с
сохранением величин первого порядка малости по р' и р'.
Подставляя (46.21) в уравнения (46.18) и (46.20) и сохраняя лишь линейные
по р' и р' члены, получаем:
др' ди ди ёр' _
-?-+ Ро^О, р0-+JL = 0. (46.22)
Этих двух уравнений недостаточно для определения трех неизвестных величин
р', р' и и. Необходимо иметь еще одно уравнение, содержащее эти величины.
Им является уравнение состояния, связывающее давление и плотность:
Р = Р(Р)- (46.23)
Соотношения (46.21) с учетом (46.23) имеют вид
Ро + Р' = Р(Ро) + р' > {46.24)
т. е.
р' = р' = p'v2, '46.25)
119.
со = ±vk
К выводу волнового уравнения
§ 46. Теплоемкость твердых тел 327
где
~=V2. (46.26)
dp
Как будет видно из дальнейшего, v является скоростью распространения
волн. С помощью (46.25) можно исключить р' из уравнений (46.22), в
результате чего они принимают такой вид:
до' ди ди 2 до' Л
~вг+ р° °' р° ~вГ+ v °- (46'27)
Продифференцировав первое из уравнений (47.27) по г, а второе - по х, и
вычитая первое уравнение из второго, находим d2p' 1 d2p'
дх2 v2 dt2
= 0. (46.28)
Аналогично, дифференцируя первое из уравнений (46.27) по х, а второе - по
t, и вычитая почленно одно из другого, имеем д2и 1 д2и
дх2 v2 dt2
= 0. (46.29)
Уравнения (46.28) и (46.29) описывают волну, распространяющуюся вдоль оси
X со скоростью V. Это непосредственно видно из того, что любая функция
