Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем мы будем называть спины, направленные вниз, подрешеткой А, а
спины, направленные вверх, подрешеткой В. Произведем каноническое
преобразование спинов В (но це спинов А), повернув их на 180° вокруг оси
Sx:
Sf~* + sf, (J ИЗ В). (167)
Допустим, что индекс i относится к спину из подрешетки А, а / - к его
ближайшему соседу из подрешетки В. Тогда гамильтониан можно записать так:
<а? = 2 2 [(4-ад+э.с.)-5^]. (168)
ItZA iC_B
Удобно принять константу обмена J за единицу энергии, так что она никуда
не будет входить явным образом. Поскольку гамильтониан симметричен
относительно подрешеток, то можно считать, что при суммировании i
пробегает все узлы решетки, a j - узлы всех ближайших соседей i, которые
мы обозначим через j (?); при этом результат суммирования естественно
надо разделить на 2:
й={2 2 [удакз.о-ОД]. (169)
Все г :(i)
В линейном приближении гамильтониан записывается в виде = 4 V 2 [s (afflj
+ Э. c.)-s* + s(a?a,+a?a;)]->
i j(i)
->-i/VZS2 + ZS2a^ + T2 elk-ft + 3. c.) . (170)
k k а
После преобразования бозе-операторов к фурье-компонентам (к бегущим
плоским волнам) гамильтониан еще недиагонален. Мы исключаем члены,
соответствующие рождению пар, методом, впервые предложенным Холстейном и
Примаковым. Впоследствии этот метод был заново открыт Боголюбовым в его
теории бозе-конденсата и теперь широко известен как преобразование
Боголюбова. Это преобразование описывается законом
ak -> (ch uk) ak + (sh uk) a* k, a? -> (ch uk) aj -f (sh uk) a_k, причем
uk = = н!_к.
22i 6- МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
Функцию ик надо выбрать так, чтобы исключить члены, содержащие ака1_к.
После простых алгебраических преобразований определяем
th 2ик = -^- ^ cos к-б, (1^2)
в
где 6 - вектор, связывающий каждый спин с любым из его z ближайших
соседей. Таким образом, гамильтониан приводится к диагональной форме
= + 2 ( Пк^т) К1 -<-Ь22ик. (173)
к
Прежде чем обсуждать магнонный спектр, имеет смысл несколько отступить и
проверить энергию основного состояния. В этом представлении собственному
значению энергии основного состояния соответствуют все пк = 0; энергия
основного состояния - это энергия вакуума. Нулевую энергию принято
записывать в виде
Е.= ->а(1+-?). (174)
Можно показать, что значения параметра у находятся в интервале между 0 и
1. Действительно, точный результат Хультена для линейной цепочки
[уравнение (165); z = 2, s = 1/21 дает у = 0,7726, которое, быть может,
есть наибольшее из возможных значений.
Таблица 6.1
Значения параметра у для различных решеток
Решетки z V
Линейная цепочка 2 0,720
Квадратная 4 0,632
Простая кубическая 0 0,58
Объемноцентрированная куби-
ческая 8 0,58
Результаты, приведенные в табл. 6.1, были вычислены с помощью линейной
теории [29] согласно гамильтониану (173). Так как при вычислениях
ограничивались взаимодействием ближайших соседей, то они не имеют большой
общности. Интересно отметить, однако, хорошее согласие (в пределах я" 6%)
с точным результатом для линейной цепочки, для которой можно было
ожидать, что теория спиновых волн абсолютно неверна. Согласие для одно-
ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ АНТИФЕРРОМАГНИТНЫЕ МАГНОНЫ 225
мерного магнонного спектра не выглядит таким обнадеживающим, однако
соображения, что основное состояние и возбужденные состояния в простой
теории могут находиться в хорошем согласии с (еще не известными) точными
результатами, для трехмерной решетки не будут выглядеть столь
неестественнми.
Возвращаясь опять к одномерному случаю и используя для этого (172) и
(173), находим энергию магнона
е (к) = (2s) | sin ка |, (175)
где а - постоянная решетки. Для спина */2 результат тождествен точному
результату для модели XY, но отличается отсутствием множителя 2/л,
имеющегося в модели Гейзенберга для спинов 1/2, которую, предполагается,
теория спиновых волн аппроксимирует. Это расхождение видно на фиг. 6.7.
При любом числе измерений спектр магнона
et = s lXz* - (S cosk-fi)2 (176)
* 6
дважды вырожден и линейно зависит от к при малых к.
Задача 3. Покажите, что спектр магнонов (176) есть частный случай в
применении к взаимодействию ближайших соседей спектра частот, данного
выражением (34) гл. 5, посвященной полуклассической теории спиновых волн
(стр. 167).
Наличие двух различных мод с нулевой энергией - в точке к = 0 и на краю
зоны Бриллюэна - означает, что магноны, принадлежащие этим волновым
векторам, могут испускаться без затраты энергии, и говорит о высокой
вырожденности приближенного основного состояния. Этого обстоятельства
достаточно для обеспечения необходимой для правильной теории
инвариантности относительно вращений спинового гамильтониана. Благодаря
испусканию магнонов нулевой энергии подрешетки А и В меняются местами.
Однако истинное основное состояние невырождено.
Диагонализации с$?лин приводит к уменьшению средней компоненты спина Sz
каждой подрешетки в состоянии насыщения. Вычислив эту величину, получим
<"">-<^2 <*-№)>=
<177>
Численное значение 0,78 получено Андерсоном оценкой интеграла для простой
