Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
использования его в случае неэрмитова возмущения. (До поправок третьего и
четвертого порядка расхождения с обычной формулой явным образом не
видны.)
Подставляя в это выражение, получаем главную поправку к Шп-
X [(1 -\-пк,) (1 + пк3) nktnki- (1 +rck2) (1 + пki) nklnk3)]. (124)
Это выражение может быть проверено с помощью следующих свойств
взаимодействия: J (k) = J( - к) и / (к + К") = J (к),
где Кп - один из векторов обратной решетки, введенных равенством,
выписанным после разложения (104). Символ А (к), часто использующийся для
обобщения символа Кронекера в физике
14 д. Маттис
er=i^T + ^-+ ...
-TSS' + SS'T + 0(S?'s)
(121)
вместе о соотношением
Шо, Л + <й?' = 0
(122)
(123)
ь
т=звв-~г 2 х
У А (к) -4~к3- к2 - к4) [./ (к21 - J (кд kQ] [/ (к3)-J (к3- к4)] ^
210 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
кристаллов, равен нулю всегда, за исключением случая, когда его аргумент
к = 0 или Кп; в этом случае он равен единице. Взаимодействия, описываемые
членами с к =/= 0, называются процессами переброса (U-процессами,
согласно немецкому слову Umklapp, обозначающему "переброс обратно", т. е.
в зону Бриллюэна). Знаменатель равен
e(k1) + e(k3) - e(k2) - e(k4) + o(-^-) .
Принимая во внимание, что согласно линейной теории спиновых волн энергия
магнонов пропорциональна s, а нелинейные поправки (119) к g№d не зависят
от s, мы находим, что только что полученные поправки уменьшаются как ~
s_1 и, следовательно, пренебрежимо малы в пределе s -> оо. Это вызвано
наличием знаменателя. Поправки более высоких порядков уменьшаются еще
быстрее по мере возрастания энергетических знаменателей.
о"4
Фиг. 6.5. Схематическое изображение влияния /'-преобразования на
исключение нефпзнческих состояний в нелинейной теории спиновых волн.
Пунктирная кривая - момент до трансформации; сплошная - после.
Таким образом, имеется, по-видимому, полуклассический хорошо определенный
предел [как в задаче о связанном состоянии, см. (80)] s -> оо (на
практике это означает s > 1/2), для которого S?d - достаточное
приближение к правильному гамильтониану, которым можно пользоваться с
доверием при условии, если
2 пк С Ns.
Следовательно, SBd может рассматриваться как эффективный гамильтониан
нелинейной, полуклассической теории спиновых волн, а для получения
дальнейших поправок нужно было бы использовать теорию возмущений и
операторы проектирования.
Изъятие Ш' не очень существенно для низколежащих энергий, когда s велико.
Однако 36' вносит существенный вклад в удовлет-
АНТИФЕРРОМАГНИТНЫЕ МАГНОНЫ 211
ворение правила сумм (112)
[^2(а*)г8+1ыгз+1]=о
i
для физических состояний. В том, что это правило сумм не выполняется в
первоначальном представлении спиновых волн, можно убедиться, разложив
операторы по плоским волнам. Сохраняя только диагональные операторы nkl
мы находим (2s + 1)! возможностей спаривания операторов рождения и
уничтожения, и, таким образом, для приведенного выше выражения получаем
(2s + 1)!(ir2"*)2,+1; (125)
оно не может быть большим, когда 2лк < Ns, но тем не менее не равно нулю.
После преобразования подобия при
1 v Л (ki + кз - к2 - к4) [J' (к2)-^ (к2-ki)] a51aj3alj.4al?a
~~2N 2j W(nkl+l, nk -1, nk3+l, " _l)_W("k, nk2, nks, nkt)'
kik2K3K4
кз
(126)
где знаменатель равен е (kj)-f-е (к3)- е (kz)- в (к4) -f- О (UN), мы
получаем для диагональной части оператора (112)
(1-. . . ) ( д,25+1 2 А (^1+¦ ¦ ¦+к2а+1~^2"+2-k4s+z)x.
k'l. . .k4s+2
X ¦ . . flk2mak2S-t-2 ' ' " j ^ "*Ь ' ' ' )
x Y A (kl + k3~k2-k4) [J (кг)-J (k2- ki)] 1 (127)
el + E3 - e2 - e4 J
Здесь F = (1 -)- nk2) (1 + лк4) лк1лкз- (1 + rakl) (1 -f nka) (nktnkt), а
многоточием обозначены недиагональные поправки более высоких порядков.
Улучшение схематически показано на фиг. 6.5.
АНТИФЕРРОМАГНИТНЫЕ МАГНОПЫ
Ниже перечислены теоремы, которые могут быть доказаны отно сительно
гейзенберговского антиферромагнетика с гамильтонианом
1v
для ближайших соседей. (128)
1,3=1
14*
212 в. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
1. При небольших ограничениях на J 1} основное состояние есть
невырожденный синглет Sn0лн = 0. Более того, наименьшая энергия,
принадлежащая S, ниже наименьшей энергии, принадлежащей спину S + 1.
2. Для спинов 1/2 не существует энергетической щели, отделяющей
возбужденные состояния в пределе N -^ оо.
Можно думать, что теорема 2 сохраняется для спинов s > 1/2.
Доказательства этих теорем можно найти в других работах [14-16]*), но,
чтобы допустить существование спиновых волн в антиферромагнетиках и
поверить теореме 2, утверждающей, что возбужденные состояния образуют
непрерывный спектр энергетических уровней вплоть до энергии основного
состояния, особого полета фантазии не требуется. Когда распространяется
длинноволновое возмущение перевернутого спина, относительная разо-
риентация спинов ближайших соседей очень незначительна, и, следовательно,
прирост энергии должен быть малым.
В 1931 г. Гансу Бете (а за ним Хультену и другим) удалось решить задачу о
