Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
собственных состояниях гейзенберговской модели линейной цепочки с учетом
взаимодействия ближайших соседей. Мы это разберем в следующем разделе. К
несчастью, решение Бете оказалось сложным, оно не проясняет вопроса о
длине корреляции, возбужденных состояниях и т. д., поэтому в физическом
смысле -его надо считать недостаточным. При некотором усечении полного
гамильтониана (в действительности путем полного исключения z-компонент
взаимодействий) мы придем к модели, для которой задача полностью решается
в одномерном случае для спинов V2 при взаимодействии блюкайших соседей.
Эта модель имеет многие из черт решения Бете, но квазилинейна и
совершенно очевидна. Мы назовем ее моделью XY [15] 2)
IV
= даг+1-f Э. с.), 5=4 и S.y+.sS,. (129)
t=i
"Вакуум" (все спины направлены вниз) - это собственное состояние с
энергией, равной нулю3). Из соображений трансля-
1) Читателю, интересующемуся различными аспектами теории
антиферромагнетизма, можно порекомендовать исчерпывающий обзор Нагамия
и ДР- 118]. _
2) Магнитную восприимчивость в плоской модели вычислил пацура [18]. Об
одномерном случае более подробно см. в работе 119].
3) Автор неудачно назвал "ферромагнитное" состояние "вакуумом". В теории
конденсированного состояния принято называть "вакуумом" основное
состояние. Тогда понятия "частица" и "элементарное возбуждение"
совпадают. Энергия в формуле (129) и ниже измеряется в величинах
обменного интеграла J. - Прим. ред.
АНТИФЕРРОМАГНПТНЫЕ МАГНОНЫ
213
ционной инвариантности можно догадаться, что одночастичные состояния
(N - 1 спинов, направленных вниз, один спин
направлен вверх) имеют вид
^=-^2>elk'RiSt 1°) (13°)
с легко вычисляемыми собственными значениями энергии
Eh = cos ка при |/ta|<n. (131)
Периодическое граничное условие N 1 = 1 приводит к дискрет-
ному ряду значений волнового числа
& = X Целое число = , р = 0, ± 1, ... (132)
Произведение двух плоских волн не обращается в нуль под действием SiSt,
как это должно было бы быть, а детерминант, составленный из двух плоских
волн, обращается в нуль. Однако детерминант антисимметричен при
перестановке координат, тогда как спины в различных узлах коммутируют и,
следовательно, должны иметь симметричную по перестановкам волновую
функцию. Таким .образом, сам собой напрашивается следующий выбор:
[ у, + Ri>]StSJ|0),
Vn(N-\) -
! г, ]>г
2 [ei(k. Rf + Ю ¦ Rj) _ gi(k ¦ Rj + k' - R;)j S+Sj | _
ф* *. = < , (133)
• H \ 1 AfL- if L- . T> , W . О \ _ '
1
~f N (Ar- 1)
г, J<i
Когда j принимает значения N - 1, затем N, и, наконец, N -f- 1, второй
спин становится первым, и волновые функции меняются скачкообразно от
верхней формулы к нижней, если не будут сформулированы соответствующие
граничные условия. Поскольку для циклической задачи, которую мы решаем,
положение начала отсчета полностью произвольно, то такие скачки в
случайно выбранном узле недопустимы. Разрешить эту трудность можно, если
для кик' вместо значений (132) взять
2, п (2р + 1)
Na
(134)
что соответствует антипериодическому граничному условию. Обобщение на
случай любого числа спинов, направленных вверх, не вызывает трудностей.
Пусть
**ьС 2 nv.lv.-.ад... |0), (135)
й, гг,.. .
214 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
где С - нормировочная постоянная, a F - детерминант
(135а)
ер = + 1, когда спины расположены в естественном порядке h < h < *з < ¦¦¦
или в порядке, получаемом путем четной перестановки, и Ер = - 1, когда
спины расположены согласно нечетной перестановке естественного порядка.
Если in - самый дальний спин, то перемещение in от N к N + 1 эквивалентно
нечетной перестановке, если га + 1 - нечетное число, и четной
перестановке для четных га + 1. Таким образом,
Весьма любопытная ситуация. На первый взгляд многоспиновые волновые
функции являются волновыми функциями в основном независимых частиц,
однако когда добавляется одна частица (т. е. когда еще один спин
переворачивается вверх), все другие состояния плоских волн изменяются.
Это в природе кооперативного явления и обусловлено эффективным
отталкиванием двух рядом лежащих отклонений спина из-за условия (Sf)2 =
0. В зависимости от того, является ли к членом четного или нечетного
ряда, энергия, соответствующая приведенной выше волновой функции, имеет
вид
Заметим, что все к должны быть различными, иначе F = 0. Основное
энергетическое состояние достигается, если все состояния с отрицательной
энергией заполнены и все к находятся в области
га -(- 1 = Нечетное -> к = (2р + 1)
и
(136)
га+ 1 = Четное -> к = (2р).
J\a '
п
Яки *!,... =2 COS М = 2с°8-?(2рГ-м) ' (13?^
i=i г
Я - 7 uJl
-у < ка < -у-, Т. е.
(138)
Однако мы должны рассматривать два основых состояния: основное состояние
для "четных" к и основное состояние для "нечетных".
АНТИФЕРРОМАГНИТНЫЕ МАГНОНЫ
215
Обозначим эти состояния Е' и Е" соответственно со значениями
?' = 2cos^(2p + l)
и (139)
Я* = 2 cos ? (2р),
v
где суммирование каждый раз ограничено областью (138). Разделение энергий
