Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
операторы проектирования.
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
Назовем оператор, имеющий нулевые собственные значения для всех состояний
гармонического осциллятора, за исключением основного, оператором
проектирования на вакуум Xt (0)
Мы используем это определение, чтобы построить оператор, имеющий нулевые
собственные значения для всех состояний, кроме 11), и обозначим его (1) =
а*Х, (0) а;.
В более общем виде: оператор проектирования на любое состояние j п) есть
Сравнивая выражения (92) -(94) для s - V2 с выражениями (95) и (96) для
бозонов, убеждаемся, что для того, чтобы сделать их идентичными,
необходимо ввести операторы проектирования следующим образом:
Удобно ввести объединенный оператор проектирования на состояния |0) и 11)
и заменить [Хг (0) +Хг (1)J на Xt (0, 1) (обозначение очевидно).
Задача 1. Покажите, что (Si)* = 5+, причем последние заданы выражением
(99), звездочка (*) обозначает эрмитово сопря?кенпе.
Прежде чем продолжить действия с бозонами, напомним соотношения
коммутации, из которых можно вывести соотношения
Любое преобразование, которое сохраняет эти свойства, будет допустимым
каноническим унитарным преобразованием или, в более общем случае,
преобразованием подобия.
Спиновые операторы в виде (99) вводятся в гамильтониан Гейзенберга. Кроме
того, вводится малая положительная величина е так, что любые нефизические
состояния будут иметь энергию
ОО
(97)
г=0
так что
Х;(0)а? = 0 и X, (0) j 0) = | 0).
X, (n)=-L(a?r% (0)a?.
(98)
(99)
(95):
202 8. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
- 1/е, которую можно сделать бесконечно большой. Таким образом, для спина
V2 и ферромагнитных связей Jtj > 0
Ж = -т2 2^ [а*а^ (0) X, (0, 1) + 11т^(1ПДе] +
+ ?р + 2 Hi ~Ь~2~ 2 ^ij) ' (101)
1 3
Энергия нефизических состояний (любое nt > 1) аг
lim (Jij/e)-*- -f- оо, если все /^>0 (если некоторые Jц <; 0,
г-"0+
нужно составить другое выражение). Результаты линейной теории
- приближение гармонических осцилляторов - получаются, если отбросить все
члены четвертого и более высоких порядков по операторам а и а*, например
если опустить пгп^ и все члены, кроме главного, в операторах
проектирования. Линеаризованный гамильтониан
<$?лин= - у 2 Ji> (а^ - Пг+т) +№вН 2 (пг - у) . (102)
3 k i l.
конечно, точен для состояния без спиновых волн и с одной спиновой волной,
так как члены, которые мы отбросили, имели в этих состояниях нулевое
собственное значение. Линеаризованный гамильтониан диагонализуется с
помощью фурье-преобра-
зования к плоским волнам, и мы теперь обсудим это, а также определение
зоны Бриллюэна, что будет полезно для последующих двух глав. Пусть
(103)
где п, т, I - целые числа. Можно проверить, что это - каноническое
преобразование, показав, что операторы ак подчиняются соотношениям
коммутации того же вида, что и (100). Действительно, если обратить
преобразование, получим
<"=-^-2 <*м>
и для проверки соотношений коммутации можно использовать соотношения
(100). Заметим также, что поскольку суммирование в (104) происходит по
дискретным узлам решетки Rjt то существуют векторы обратной решетки К",
для которых
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН
203
Для простых кубических структур наименьшие векторы обратной решетки (К^,
К2, К3) равны Kt = ± 2л 1а, где а - постоянная (прямой) решетки.
Необходимо определить операторы только в так называемой первой зоне
Бриллюэна, которая (снова для простой кубической решетки) представляет
собой куб с вершинами при V2 (Ки К2, К3). Согласно выражениям (103),
точка в импульсном пространстве "занимает" объем (2п/L) 3, так что общее
число точек в пределах зоны Бриллюэна равно (Ыа)3 = N. Это есть истинное
число операторов ак.
Подстановка выражений (103) в гамильтониан (102) дает
ЗЕяпа - Hjjlito (k) -p E0 (Hk = akak) (lOo)
kC3. Б.
в точном соответствии для спина V2 (s = 1/2) с результатами, полученными
в (14) - (16) в терминах операторов Р и Q.
Следующее приближение состоит в том, что мы отбросим в ЗЕ все члены
шестого и более высокого порядка по операторам а и а*. С этой точностью
Xt (0, 1) а 1 и If (0) " 1 - п;. Соответствующий гамильтониан имеет вид
<ЗВнелин - 2 2 ^' 7
[ (а* - а?) (1 - щ) а} ~ ~ ] -f Я 2 ( п, -у ) .
(106)
и он точен для состояний, включающих два или менее перевернутых спина. В
частности, все обсуждение двух взаимодействующих спиновых волн может быть
основано на этом усеченном гамильтониане. так же как и на полном
гамильтониане Гейзенберга. Но обратим внимание на удивительное свойство,
которое, по-видимому, делает эту последнюю формулу более точной для
произвольного числа перевернутых спинов, чем мы имели право ожидать.
Начнем с любой разрешенной конфигурации, скажем волновой функции
I = 1 " 7 '/ п -/-1),
и применим к ней оператор ЗЕнепшн- Получается линейная комбинация других
состояний
ЗЕнелин | = 2 Frst | rst).
rst
нее состояния из которой также разрешены в том смысле, что г Ф s Ф t Ф г.
[Например, для спина 1/2 состояние (я*)2 | 0) не разрешено, тогда как
