Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
спектра. Оно соответствует комплексным ф, к и кПоскольку в
антиферромагнетиках связанное состояние расположено выше области
непрерывного спектра, оно не может иметь ничего общего с задачей
определения основного состояния, и мы попросту будем его игнорировать, а
сконцентрируем свое внимание на спектре с вещественными к, к' и ф.
Вычисления с двумя спинами легко обобщаются. Пусть ненормированная
функция п частиц имеет вид
П 71
г(М-И(2;+- ¦ .-Ипп-t-1/" 2 2 '•'fcrAj) fij...mn = e r<t + Есс
перестановки. (149)
218 6. МАГН0НЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
Иначе говоря, состояние сконструировано из произведений плоских волп, и
взята сумма таких произведений по всем перестановкам п векторов к.
Фазовые сдвиги антисимметричны по индексам к, к', и легко показать, что
они подчиняются уравнениям
2 ctg у фАА> = ctg у к - ctgy/e' (150)
И
п
л (2р)т 2
/с- дГ , Р = о, ±i, ... (151)
В этом уравнении, как и в следующем, суммирование ведется по всем
волновым векторам к', вошедшим в выражение (149). Энергия, отсчитанная от
7V/4, т. е. от энергии ферромагнитного состояния, имеет вид
П
E-Et= -J (1 -cosA'). (152)
i
Заметим, что если мы передвинем всю цепочку на один шаг, т. е. произведем
замену i, /, i + 1, / -j- 1, то волновая
функция (149) умножается на фазовый множитель
71 П
i 2 * Я1 2 2 p/N
е 1 =е 1 . (153)
Показатель экспоненты определяет полный импульс состояния, который снова
не зависит от фазовых сдвигов Это важно,
так как сами по себе фазовые сдвиги теперь довольно велики. Каждый сдвиг
фАА' порядка единицы; они дают вклад в каждый волновой вектор к, и полный
сдвиг в к - порядка n/N, т. е. существенная доля к.
В задаче о двух частицах уравнения (150) и (151) не имеют решений типа
бегущей волны для к - к' " 0. Этот случай приводит к комплексным
значениям, т. е. к связанному состоянию. Аналогично в состоянии со
многими частицами можно выбрать интервал между векторами к так, что
значение р = 0 будет отсутствовать и для всех р и р'
\Р~Р' |> 1- (154)
Подобный выбор дает уверенность в том, что имеются только вещественные
решения. Для N12 частиц (N - четное число) набор {р}, согласующийся с
приведенными выше ограничениями, таков:
(р} = 1, 3, ...,А-1.
(155)
ОДНОМЕРНОЕ РЕШЕНИЕ БЕТЕ 219
Заметим, что в рассматриваемом случае "взаимодействие" SiS'i-n приводит к
тому, что распределяет целые числа р (ограниченные интервалом N14 < р <
ЗЛ74 в основном состоянии модели XY) так, что они покрывают всю область
фазового пространства.
Введя постоянную решетки и переходя к пределу N -"- оо можно заменить
суммы интегралами. Таким образом,
1 1 E-Ef=\ [l-cosA-(x)]rfa:= -N J sin2-^-*:, (156)
где
п ". ,Ф(г1 У) i к(х) i к (у) ,.г-.
2ctg 2' =- ctg ctg -~~ (150
А- (х) = 2пх + у ^ ф (х, у) dy. (158)
о
Из (158) исключим фазовый сдвиг
к (ж) = 2лх + jj arcctg ^ctg (g)/2]-ctg [fc (y)/2]j^ ^
0
Продифференцируем1) (159) по x
оо
dk (z) _ 2я 1 f twill)
dx
j 1 + V4(S-T1)2 л u '
и введем следующие обозначения:
^ к (х) у , к (у)
ctg-YJ = l и ctg = Т);
(4г)",= ~Пг,) ¦ ?=т-
равн!
/(Е)!
(161)
Умножая обе стороны уравнения на / (|) и используя тождество
dk (х) _ +2
dx ~ l + fc* • получаем
У(?) + 2 ] (162)
В Функция ф (ху) при х - у имеет разрыв, равный 2л, так что при
дифференцировании следует быть внимательным при установлении пределов
интегрирования; надо иметь в виду, что 0 -<у и х у <J1, и
дифференцировать, временно считая пределы переменными и, таким образом,
аккуратно "обойти" указанную особенность функции ф (ху).
220 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
Уравнение этого типа решается точно, так как ядро - функция разности (? -
т]). Можно произвести фурье-преобразование и решить-уравнение для
Fопределив
Результат этот знаменит, так как это одно из очень ограниченного числа
известных точных решений нетривиальной задачи многих тел.
Де Клуазо и Пирсон [24] распространили этот метод для получения энергии
наинизших возбужденных состояний, которые, как оказалось, являются
триплетными состояниями. Они выбрали (N12) - 1 значения к для получения
собственных состояний с наименьшей энергией, принадлежащих конечному
полному импульсу, равному 2^- Эта методика, однако, очень тонкая и до
некоторой степени переусложненная, чтобы приводить ее здесь или
объяснять. Есть один вопрос, на который нет ответа,- имеются ли среди
низколежащих возбуждений связанные состояния? Если это так, то с помощью
формализма Бете - Хультена их объяснить нельзя, ибо справедливость
различных приведенных выше уравнений, по-видимому, основана на том, что к
- вещественные числа. Однако вполне возможно, что дальнейшее
математическое изучение выражения (149) и следующих за ним может
позволить распространить известные результаты на комплексную А-плоскость,
и тогда можно будет произвести полную классификацию. Так, следуя Орбаху,
можно рассматривать спаренные члены SfSi+1 с переменным параметром g и
изучать энергетические уровни при адиабатическом возрастании g. При g = 0
