Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
а*а* | 0) разрешено при условии i ^ j.] Следовательно, в отличие от
линейного гамильтониана нелинейный гамильтониан (106) правильно
воспроизводит все собственные состояния гамильтониана Гейзенберга, но в
дополнение к ним
204 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
он еще имеет бесконечное число собственных состояний, которые нефизичны в
том смысле, что два и более перевернутых спина занимают один или
несколько узлов. Это оборотная сторона медали. Нефизические состояния
могут лежать значительно ниже физических по энергии, но этого ни в коем
случае не может произойти в случае линейного гамильтониана, каковы бы ни
были его другие недостатки, а также в случае гамильтониана (101) для
спина 1/2, где операторы проектирования и ограничительная процедура были
использованы, чтобы энергию для нефизических состояний приравнять -|-оо.
Нетрудно определить, является ли собственное состояние нелинейного
усеченного гамильтониана физическим состоянием гамильтониана Гейзенберга
или оно представляет собой нефизическое ложное решение, вызванное
подстановкой бозонов вместо спинов. Нам следует просто вычислить пг- (пг
- 1) = (я*)2 а,-в этом состоянии, и если приведенный оператор в этом
состоянии имеет собственное значение, равное 0 для всех г, то это
физическое состояние. Имея это в виду, можно оперировать так, будто (106)
есть точный гамильтониан задачи. Введем преобразование подобия, с помощью
которого гамильтониан делается точно эрмитовым. Пусть
di ^ ^ ^ di > di , - , (10 /)
И- Щ
заметим, однако, что это преобразование оставляет П; = а*я* инвариантным
и сохраняет фундаментальные соотношения коммутации (100). Гамильтониан,
приведенный к эрмитовой форме, имеет вид
i, 5
+ (ni_y) (п'~т)] +bv-bh2 (Пг-т) ' (108>
и мы не очень удивимся, убедившись, что это не что иное, как
первоначальный гамильтониан Гейзенберга, написанный в представлении
Холстейна - Примакова для спина, равного 1/2:
5| = аПЛТ^;, S; = V S\ = п,-|. (109)
Это проясняет ситуацию. Гамильтониан (106) или физически эквивалентный
ему эрмитов вариант (108) в действительности идентичен первоначальному
гамильтониану. Он имеет физический смысл в подпространстве операторов
Холстейна - Примакова
НЕЛИНЕЙНАЯ теория спиновых волн
205
и обладает нефизическими решениями только тогда, когда эти операторы сами
теряют физический смысл.
Так как мы хотим изучить все значения s, то стоит обобщить предыдущие
рассмотрения. Это делается в несколько приемов, начиная с гамильтониана
Гейзенберга (1). Сначала выразим операторы спина через операторы
Холстейна - Примакова:
¦ Sf = flfVr25|/(l-g-) , S-=VTs (НО)
Szi =n i - s,
затем освободимся от иррациональности с помощью преобразования подобия,
обратного тому, которое было выполнено в (107). В конце концов получим
SS = Е0 -s ^ Jи (at ~a*) (l - ^) о,-+ ^ пг,
i, i
(111)
причем постоянная Е0 это обычная энергия основного состояния, впервые
определенная выражением (12). Этот неэрмитов оператор имеет все
собственные значения гамильтониана Гейзенберга плюс бесконечное число
нефизических значений. Допустимо ли собственное состояние физически или
нет - зависит от того, имеет ли положительный полуопределенный
(semidefinite) оператор
[хг2 (аП2,+1(":)2>+1] (И2)
i-i
собственное значение, равное нулю, или нет.
Для теории спиновых волн можно преобразовать приведенный гамильтониан 3?
к бегущим волнам, используя преобразование (103). Гамильтониан в
операторах ah есть
206 в. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
В этой большой сумме членов изолируем операторы, которые диагональны в
представлении чисел заполнения (т. е. константы и функции Пк = Якак), от
недиагональных членов. Билинейные члены по операторам а, входящие в
последнюю сумму при магнитном поле, автоматически диагональны за счет
закона сохранения
к 2 кг
Прямой
к-4 кА
Обменный | Фиг. 6.4. Прямой п обменный вклады
в нелинейный магнонныи гамильтониан.
импульса. Члены четвертого порядка недиагональны, хотя часть из них, для
которых
(кг, к3) = (к2, к4) или (к4, к2) (114)
(фиг. 6.4), содержит только пк, и, таким образом, они будут включаться в
важную диагональную часть, которую мы назовем Шв- Неизбежно появляется
фурье-преобразование от Jtj; его удобно обозначить через / (к), определив
¦'0O=2^Sett-<R|-R',/u- (115)
i, 3
В кубической структуре /*(к) = / (- к ) = / (к) *). Например, в простой
кубической структуре при учете взаимодействия только ближайших соседей
(этот случай мы изучим в гл. 8)
/(к) = 2/(cos Axa~j-cos /c^a-j-cos kza). (Иб)
Таким образом получается компактное выражение
$-р. д = Ео Т- 2 [2s/ (0) - 2s/ (k) -J- g^B^] Nfc -
k
--дг S (/(0)+/(k -k') -/(k) -/(k')J ПкПк-. (117)
___________ к, к'
*) J*(к) = J (-к) - следствие эрмитовостц обменного гамильтониана; j (-к)
= J (к) - следствие существования в кристалле центра инверсии. Таким
образом, приведенные соотношения имеют более общее происхождение, чем
указано в тексте.- Прим. ред.
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН 207
