Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
Е" и Е" зависит от того, делится ли N на 4 или только на 2, или оно
нечетное. Так или иначе наименьшая энергия элементарного возбуждения
порядка 1 IN.
_ Уровень Ферми
Фиг. 6.6. Модель ХУ, показывающая занятые и незанятые состояния.
Созданные элементарные возбуждения: черный кружок - "квазндырка";
светлый
кружок - "квазичастица".
Каждое основное состояние может быть представлено энергетической
диаграммой, показанной на фиг. 6.6. Уровень Ферми пересекает кривую
косинуса при ка = л/2 и Зл/2 и все разрешенные состояния ниже него
заполнены в каждом из основных состояний. Возбужденные состояния
соответствуют заполнениям состояний выше уровня Ферми и появлению пустых
состояний ниже него. Если к - любой волновой вектор из (136),
отсчитываемый от ± л/2 а, то энергия элементарного возбуждения е (q)
описывает дважды вырожденный спектр
е (q) = | sin q |, причем q = ka. (140)
Эта энергия добавляется к любой поправке, вызванной изменением четности
состояния*). Каждое элементарное возбуждение представляет собой
антиферромагнитный магнон и следует заметить, что в отличие от
ферромагнитных магнонов энергии антиферромагнит-ных магнонов линейно
зависят от волнового вектора q для малых q. Этот вывод, по-видимому, не
зависит от модели антиферромагнетика.
*) Напомним, что поправки, вызванные изменением четности, - порядка 1/N.-
Прим. ред.
216 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
ОДНОМЕРНОЕ РЕШЕНИЕ БЕТЕ
Прогресс в решении задачи о гейзенберговском антиферромагнетике даже в
одномерном случае был не очень быстрым. Хотя волновые функции Бете
получил еще в 1931 г., энергию основного состояния Хультен получил только
в 1938 г. Впоследствии решение было обобщено Орбахом, который
рассматривал анизотропный гамильтониан, а также Уокером, выяснившим
аналитические свойства решений Орбаха. Наконец, спустя целых тридцать два
года, Де Клуазо и Пирсон вычислили одномагнонный спектр, а Гриффитс
рассмотрел магнитную восприимчивость [15, 20-25].
Желательно вычислить собственные состояния гамильтониана
N
= 2 [у№г;, + э. c.)+gs\sUi] (i4i)
i=l
для s = 1/2, ?=1и^У + 1 = 1. При g = 0 мы возвращаемся к модели XY [см.
(129)1, а при g оо приходим к модели Изинга. Настоящий выбор (g = 1)
соответствует изотропной цепочке Гейзенберга. На основании теоремы об
антиферромагнетиках [131 основное состояние есть синглет, и,
следовательно, оно должно обязательно находиться в подпространстве М = 0.
Это соответствует существованию N12 "частиц", или N12 перевернутых
спинов. Подойдем к основному состоянию постепенно; сначала изучим
состояния с малым числом перевернутых спинов. Состояние "вакуума", когда
все спины направлены вниз, имеет энергию Ef = -\-N/4. Состояния с одним
перевернутым спином (в спин-волновом описании) изучены с некоторым
обобщением в разделе по одномагнонным собственным состояниям
ферромагнетиков (стр. 183). Двухмагнон-ные собственные состояния
исследовались в следующем за ним разделе (стр. 184), и поэтому мы
начинаем здесь с некоторого изменения анализа, который ранее начинался
исследованием уравнения (54).
Сейчас нам наиболее удобно использовать методику, справедливую только для
спина 1/2, и придать нефизическим амплитудам /ц значения, определяемые
равенством
/г, г +/г+i, ?+i = 2/г, j+i, (142)
где физические амплитуды /= fjt для / Ф i удовлетворяют
уравнениям
(Е-Е/ -f 2) fa-! (fij+l + - ft+iJ + fi-.j) = 0. (143)
Это левая сторона уравнения (54) при s = V2, J = - 1 и й" = 0.
тогда как приведенное выше граничное условие обусловливает равенство нулю
правой стороны уравнения. Однородное уравнение
ОДНОМЕРНОЕ РЕШЕНИЕ БЕТЕ
217
решается с помощью плоских волн, например
j.. = el(ft;+ft'i-V2rli) (144)
для / > г. Фаза ф может принимать значения из интервала (- я, л), и
следует заметить, что соответствующее решение в модели XY имеет гр = ± л
[см. (133)] и отличается от приведенного выше только тривиальным
постоянным множителем. Здесь мы не пытаемся нормировать решение, так как
при вычислении собственных значений энергии этого не требуется.
Если мы подставим ftJ в граничное условие, объединим коэффициенты при cos
ф/2 и sin ф/2, сократим ехр г (/с -J- /с')/2, то, упростив результат,
получим следующее определение фазы ф:
2ctgy i|3 = ctgy к' - ctgy к. (145)
Другое граничное условие
ftx = foi (146)
приводит к
к' = ^РА-У и A = JLM±i, (147)
где р, р' - целые числа.
Энергия, отсчитываемая от ферромагнитного уровня Ef = (Л74), равна
Е - Ej=-(1 - cos к)-(1 - cos к'), (148)
т. е. как раз энергии двух рассеянных магнонов; она включает фазу ф.
Заметим, что сумма к' к = [2л (р -f p')IN] не зависит от ф, что
соответствует волновому вектору центра тяжести К, введенному на стр. 187.
Разность к - к' соответствует относительному волновому вектору q. Мы
напомним, что связанное состояние появляется ниже q = 0, за пределами
области непрерывного спектра. В данном случае благодаря изменению знака
взаимодействия аналогичное состояние находится выше области непрерывного
