Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
Имеется небольшая неточность, допущенная в членах, для которых к = к';
правильный член четвертого порядка есть (a*)2 (ак)2, а не (п*)2. Это
может быть учтено путем изменения на величину порядка 1 IN. Однако такой
поправкой можно полностью пренебречь, и мы больше не будем к этому
возвращаться.
Изучение 3?d проводится с помощью незначительного обобщения теории
"линеаризованного" гамильтониана. Важен только следующий вопрос. Если
имеется состояние, в котором магнонов с волновым вектором к4, пг магнонов
с волновым вектором к2 ит. д., то сколько требуется энергии, чтобы
добавить один магнон с волновым вектором к в это состояние? Пусть W (пк)
и W (пк +1) суть собственные значения гамильтониана в состояниях | пк) и
at | пк)\ тогда
ЧтЛ | nh) = а%Зво | nh) -f [$eD, а?] | пк) =
= W(nk) at | пк) + 12sJ (0) - 2s J (k) + giiBH-
- 4 2 ^ (°)+7 <k -k') - 7 (k) - 7 (k> n4a* I "A> =
k'
= W (nk -)-1) at | nA) (118)
и, следовательно,
W (nA + l) = lV(nA) + [2s/ (0) - 2sJ (k)+g[isH\ -
(0>(k-k')-7 (k)-' (k')l "*'¦ (119>
k'
Если ввести энергию магнонов Йи(к), определенную, скажем, выражением
(14), последнее равенство приобретает вид
W (пк +1) - W (пк) =1.(0 (к) -
- ^-2in"(k)+n"(k')-n"(k-k')-n"(°)]nk' = e(k). (120>
к'
где сумма - это поправки к линейной теории спиновых волн. Важно отметить,
что спиновые волны с к' = 0 не вносят вклада в эту поправку, что
подтверждает инвариантность этой теории относительно вращений. Нелинейные
магнонные энергии обозначаются через е (к).
Заметим, что при взаимодействии ближайших соседей
e(k)<#ico(k)
(чертой обозначено усреднение по направлениям к). Таким образом,
увеличение чисел заполнения пк уменьшает энергию всех
208 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
магнонов, как мы увидим далее, когда речь пойдет о тепловых эффектах.
Однако приведенное соотношение не сохраняется в случае произвольного
взаимодействия с большим радиусом действия и обратно в случае
ферримагнетиков с взаимодействием ближайших соседей, так что, по-
видимому, это особое свойство, связанное только с постулатами настоящей
теории.
Имеется также приближенный принцип суперпозиции: энергия, требуемая для
добавления двух магнонов с волновыми векторами к и к' в данное состояние,
равна сумме энергий, требуемых для каждого е (к) -j- е (к') с точностью
до поправочного члена порядка UN, возникающего вследствие взаимодействия.
Доказательство дано в виде задачи 2.
Задача 2. W К+ 1, nk, -f 1) = W (л*+ 1, пк. ) + W (nh, пк. -f 1) -- W
(пк, nk.) + w. Найдите поправочный член w, проверьте, что поправочный
член - порядка 1/TV.
ПОПРАВКИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
До сих пор мы не обращали внимания на недиагональные члены 38' = 38 - 38
о- Теперь же попытаемся оценить эффект с помощью теории возмущений. В
принципе теория возмущений дает систематический способ диагонализации
гамильтониана, если ее провести во всех порядках. Если это выполнено,
можно отделить правильные собственные состояния от неправильных с помощью
способа, использующего оператор (112). На практике ряды теории возмущений
могут не сходиться, и мы проведем рассмотрение с точностью до членов
второго порядка (по причинам, которые будут ясны ниже) *).
Рассмотрим преобразование подобия, порожденное оператором Т:
On -¦" е~т Оп е+т.
Это - унитарное преобразование, если (и только в этом случае) Т* = - Т,
т. е. если Т = i X Эрмитов оператор. Такое унитарное преобразование не
может диагонализовать гамильтониан, который в своей настоящей форме
неэрмитов, но который, если его диагонализовать, будет явным образом
вещественным и диагональным, следовательно, эрмитовым. Диагонализация
возможна только, если не накладывать ограничение на Т. Ограничиваясь
члена-
Э Даже в тех случаях, когда ряды теории возмущений сходятся, не всегда
удобно производить полную диагонализацию. Может оказаться, что
возникающие прп этом состояния теряют свою наглядность и мало пригодны
для изучения кинетических и других физических свойств макроскопической
системы. С другой стороны, реальные изменения энергии квазичастиц,
обусловленные малым взаимодействием, малы.- Прим. ред.
ПОПРАВКИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
209
ми наинизшего порядка по взаимодействию, воспользуемся разложением
и выберем Т так, чтобы исключить из гамильтониана. Из того, что
останется, мы должны сохранить только диагональные члены наименьшего
порядка. Тогда
36 -> (1 - Т S?D[i + T + ^)+{i-T)S?' {i + T) "
" Шт> -f (Шв, Л + сЖ') - ТШт>Т + J + ШвТг) -
определяет преобразованный гамильтониан с желаемой точностью [ср.
соотношение (122) с (126), где приведены матричные элементы оператора Т\.
Квантовые числа собственных состояний SBd представляют собой набор чисел
заполнения, и пусть а, Ь, . . . обозначают каждый набор. Для новых
собственных значений гамильтониана (121), решив (122), получим знакомое
выражение для поправок второго порядка к энергии
Мы вывели его заново, чтобы устранить обоснованные сомнения относительно
