Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
кубической решетки (п. к. р.). Заметим, что для линейной цепочки эта
формула дает
(SS-) = оо (линейная цепочка) (178)
15 д. Маттис
226 S. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
благодаря расходимости интеграла при больших длинах волн. Это означает,
что в одномерном случае дальний порядок отсутствует даже в спин-волновом
приближении. Этот результат находится в согласии с другими расчетами.
НЕЛИНЕЙНОСТИ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМЕ И ФЕРРОМАГНЕТИЗМЕ
Ферримагнетики - обычно изоляторы, содержащие локализованные спины,
связанные антиферромагнитным образом. На один из примеров указал Неель,
создавший термин ферримагнетизм (потому что он проявляется в ферритах,
примером которых служит магнетит); заключается он в том, что спины в
введенных в предыдущем разделе подрешетках А и В обладают неравной
величиной sA Ф sB. В природе и в теории существуют и другие значительно
более сложные примеры ферримагнетизма *), но их изучение - это сложная
специальная область 2). В этом разделе нам хотелось бы продемонстрировать
гамильтониан спиновых волн, включающий главные нелинейные члены, для
простой модели ферримагнетика с двумя подрешетками и показать, каковы
главные нелинейные члены в антиферромагнитном гамильтониане, который
получается из предыдущего, если положить sA = sB. Мы убьем сразу двух
зайцев, показав, каким образом одно и то же выражение, которое для
неравных спинов дает энергию магнонов ~ к2 при длинных волнах, даст в
случае антиферромагнетика энергию ~ к. Математика основана на работах
Накамуры и Блоха [31] и соответствует прямому разложению квадратных
корней в представлении Холстейна - Примакова. Для больших спинов согласие
даже линеаризованных теорий с классическими уравнениями движения вызывает
некоторое доверие к этой процедуре, для которой нет никаких других
формальных математических оправданий. (Теперь читатель, если он до сих
пор этого не сделал, должен решить задачу 2 из гл. 5, стр. 168.)
Пусть sA>sB, и пусть в каждой подрешетке имеется N спинов. Положим
sA = (l+a)s, sB = (l- a)s. (179)
За исключением различия спинов, гамильтониан имеет точно тот же вид, что
и (168). Мы сохраняем первые три члена в разложении гамильтониана по
степеням s:
SB = Звъ ~Т j -f- "Т0 (s 2)- (180)
0 Подробный обзор и библиографический список см. в работе [30].
2) Спектр сложных ферримагнетиков детально исследован с полуклас-
сических позиций (см., например, Е. А. Туров, Физические
свойства
магнитоупорядоченных кристаллов, изд. АН СССР, 1963).- Прим. ред.
НЕЛИНЕЙНОСТИ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМЕ И ФЕРРИМАГНЕТИЗМЕ 227 Вот они:
<$?о = 2 Ь'о(5вакак + *А&кЬк)+ Vsasb Yk + Э. c.)]-iV|sAsB,
(181a)
SB i = - , *------ У (явУк^к^кгЯкзак! + ЯдУк^кДА Ai +
HN VSaSj"
kik2k3k4
+ V(r)as.b 'Укх-кзЯк^кз&кАа) A (^i 4" k2 - k3- k4) -f- Э. C., (1816) где А
(к) определено на стр. 209, и, наконец,
<Шг -- - 2 g ^ 3"а У (SAVkiak^ki^kabkabkebka -
kj. ..kg
2^S,B'Yk1-j_k2_k4flk1flk2flk4fek5bke&k3 ^^^^6^ki^k2^k4^k3^kB^ke) X
X A(k1 + kz + k3 -k4 -к5-к6) + Э. c.), (181b)
где
-^2 а*-(tm), и ^ = -^2 b,e^ (182)
V JCA ^ iCB
ak =
Yk = У elk'e, y0 = z. (183)
б
Затем SBo диагонализуется с помощью преобразования, напоминающего
преобразование Боголюбова
ак -> ак ch мк -f bj sh uk,
bk -> ak sh uk + bk ch uk,
которое смешивает операторы из подрешеток А и В. Характерное для
антиферромагнетиков вырождение спектра магнонов отсутствует, если а Ф 0,
и мы находим две ветви
Еа (k) = y0s (/к - а) И Еь(к) = Уо"(/к + "). (185)
где __________________
/k=/l-(l-a2)(-^-)2. (186)
Параметр ик выбирается так, чтобы исключить акЬк + Э. с. из
гамильтониана. Это условие приводит к уравнению
th2uk= -^ УГ^2. (187)
В приближении длинных волн энергии магнонов равны
еа (к) " (Уаг-Ь (1 - а2) (ка)2 -a) y0s ~^-^-(ка)2,
еь (к) я-.- (Уа2 + (1 - а2) (ка)2 -f а) y0s\ (188)
15*
228 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
из полученных выражений легко видеть, что имеется зависящая от параметра
а область, в которой нижняя ветвь квадратична, как в ферромагнетиках,
прежде чем стать приблизительно линейной, как в антиферромагнетиках.
Энергия основного состояния в линейном приближении имеет вид
Д0=-J(2A)s2(l-a2) (l+-?) , (189)
где
y = zs(i --^2/ь) • (190)
Следует заметить, что в этом вычислении полное число спинов равно 2N.
Квантовомеханическая поправка меньше в ферримаг-нетиках, чем в
антиферромагнетиках, что не очень удивительно с точки зрения сходства
последних с ферромагнетиками, для которых у = 0.
С нелинейностями управляются следующим образом. Сначала 36i и ЗВг
преобразуются по правилам (184) и (187). Затем диагональные члены в 361
объединяются с полностью диагональным 36о, чтобы получить диагональный
гамильтониан первого порядка, который мы можем обозначить 36п по аналогии
с ферромагнетизмом. И наконец, недиагональные матричные элементы
оператора 36i исключаются с помощью канонического преобразования,
аналогичного Г-преобразованию в ферромагнитном случае. Получающиеся в
