Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
(главное, орбитальное, азимутальное, спиновое; один индекс применяется
лишь для упрощения записи). Когда атомы взаимодействуют друг с другом,
атомные уровни, обозначенные буквой t, расширяются в зону, если только
электроны не так сильно связаны со своим ядром, что атомы можно считать
изолированными, и само понятие одноэлектронных зон оказывается
неприменимым х). Но это не так
s) Такая ситуация осуществляется для /-электронов редких земель и 1 s-
электронов, принадлежащих гелиоподобным сердцевинам электронных обо лочек
атомов всех металлов.- Прим. ред.
СИЛЬНАЯ СВЯЗЬ
233
в случае Зй-состояний; мы замечаем, что первый металл, имеющий
заполненную 3d-30Hy (Си) и элементы, непосредственно следующие за ним в
периодической таблице (Zn, Ga и т. д.), немагнитны, тогда как стоящие
непосредственно перед ними атомы в ряду железа, имеющие незаполненную d-
оболочку в атоме и d-зону в металле, образуют вещества с разнообразными и
интересными магнитными свойствами. Можно с достаточным основанием
полагать, что электроны d-зоны чрезвычайно важны в изучении магнетизма, а
незаполненные d-зоны содержат "магнитно-активные" электроны.
Прежде чем уточнять эти понятия, необходимо рассмотреть некоторые общие
для всех электронов свойства, включая немагнитные. Некоторые из этих
свойств можно изучить в "приближении плоских волн", в котором мы полагаем
V (г- R,) = 0 и щ, t = 1-Но мы не хотим жертвовать зонной структурой,
качественные черты которой сохраняются в приближении сильной связи; к ее
изучению мы сейчас приступим.
СИЛЬПАЯ СВЯЗЬ
Мы исходим из того, что легче оценить матричные элементы, используя
функции Ванье (из-за предположенной локализации их на отдельных атомах),
чем решить дифференциальные уравнения для блоховских функций. Мы
проиллюстрируем это, используя гамильтониан SB, определенный уравнением
(1), и образуем матричные элементы, используя функции Ванье:
Н (Ri Дь " = J фп, i (г) SB^n,} (г) d3r, (5)
так что уравнение Шредингера сводится к детерминантному уравнению для
определения собственных значений
Det || Н (Riy)n, п - Е&и |] =0- (6)
В каком именно представлении мы решаем уравнение Шредин-
гера, очевидно, не играет никакой роли, и собственные значения энергии Е
будут точно совпадать с блоховскими энергиями Еп (к). Более того,
обязательно оказывается, что собственные функции это те линейные
комбинации
N
фП1к(г) = ^=2 eik-R^n<i(v), (7)
которые являются блоховскими функциями [см. (4)1.
Если используются приближенные функции Ванье, межзонные (п Ф т) матричные
элементы Н (R?y)n, т не должны исчезать.
234
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
В качестве первого приближения вместо функций Ванье широко используют
атомные функции (орбитали), и поэтому этот метод часто называют методом
LCAO (сокращение по первым буквам названия Linear Combination of Atomic
Orbitals - линейные комбинации атомных орбиталей). Смешивание различных
орбиталей для образования зон в твердом теле выражает хорошо известный
факт - несохранение момента количества движения вследствие понижения
симметрии от сферической до кубической, гексагональной или какой-либо
еще.
Обычно матричные элементы Н (К;;)п, т ограничивают наименьшими
межатомными расстояниями Rij (в особых случаях, возможно, вплоть до
второй или третьей координационной сферы). Не имеет смысла рассматривать
более отдаленные взаимодействия, так как если они значительны, метод
сильной связи сам по себе становится громоздким, и тогда более доступными
и простыми оказываются другие методы, такие, как приближение почти
свободных электронов.
Рассмотрим зонную структуру, полученную в следующих простых примерах.
Детерминантное уравнение позволяет найти энергии во всех точках k-
пространства, причем требуется, чтобы только постоянные параметры
(интегралы перекрытия) определялись численным образом. И если мы не знаем
атомных волновых функций или соответствующих волновых функций в конкретно
рассматриваемом кристалле, то эти постоянные можно принять за подгоночные
параметры, подбираемые либо путем сравнения с экспериментом, либо путем
сравнения с несколькими значениями (в отдельных точках), полученными с
помощью более точных расчетов зонной структуры.
Допустим, что имеется простая кубическая структура, и рассмотрим случаи
s- и р-зон.
s-зона. Из соображений симметрии все шесть матричных элементов,
соответствующих взаимодействию между ближайшими соседями, равны друг
другу, поэтому в задачу входят только два параметра
А = Н (0) = ^ ф* (г) (г) d3r
и
- В = Н (0, 0, а) = .. . = Н (а, 0, 0) =
= ^ ф* (| г -{- (0, 0, а) |) Л^ф (г) d3r.
Использовав их, получим собственные значения энергии
Е (к) = А - 2В (cos kxa -f- cos kya -f- cos kza).
(8)
СИЛЬНАЯ связь 235
Задача 1. а) Предположив, что перекрытие существует только для ближайших
соседей, докажите, что в объемпоцеытрированной кубической структуре для
всех s-зон имеем
Е (к) = А - В cos кха cos куа cos kza,
а в случае гранецентрированной кубической структуры
