Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
спиновый парамагнетизм Паули, диамагнетизм Ландау и эффект де-Хааза -
вап-Альфена. Все это хорошо известно и подробно описано в обычных
учебниках по твердому телу или физике металлов z). Поэтому здесь мы
довольствуемся качественным обсуждением физических оснований упомянутых
статических явлений, не подчеркивая математическую сторону, которая
довольно сложна. Основная наша цель - показать важную роль функции
плотности состояний N (Е) в магнитных свойствах электронов и ввести
понятие энергии Ферми и функции распределения Ферми.
В основном состоянии нормального металла (Т = 0° К) все одноэлектронные
состояния с энергией, меньшей ц, заняты, а все состояния с энергией,
большей ц,- пустые (ц - это химический потенциал, или энергия Ферми).
Более того, в отсутствие магнитных полей или спин-орбитального
взаимодействия, снимающего вырождение Крамерса, каждое состояние с
данными (п, к) ниже уровня Ферми занято двумя электронами с
противоположно направленными спинами.
При конечной температуре состояния в интервале ± кТ вблизи уровня Ферми
заняты частично, как можно видеть из функции распределения Ферми
/ (Ек) = -ц)/кт 1 (14)
е k -f- 1
которая дает зависящую от температуры вероятность того, что состояние с
энергией Еk занято (индекс номера зоны и спиновый
Зонная структура некоторых магнитных металлов сейчас хорошо известна.
Пожалуй, лучше всего изучен никель [5-7].
2) Менее известен, но не менее интересен вопрос о гальваномагнитных
свойствах металлов в сильных магнитных полях, затронутый в работе [8].
16 Д. Маттис
242
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
индекс включены в к). В слабом магнитном поле спины электронов в
интервале ± кТ вблизи энергии Ферми будут свободно ориентироваться
параллельно полю, и, согласно законам Ланжевена и Кюри, каждый будет
вносить в намагниченность вклад, пропорциональный приложенному полю,
константе Кюри (см. стр. 297) и обратной температуре:
Ы1 -Н~.
Число участвующих в этом процессе электронов приближенно равно 2kTN (ц),
и, следовательно, полная спиновая парамагнитная восприимчивость равна
Хр = 2САЛГ(ц). (15)
Этот результат полностью согласуется с более точно полученным Паули
выражением для спиновой парамагнитной восприимчивости свободных
электронов и справедлив с точностью до членов порядка (кТ/\л)2 при
конечных температурах (kT/\i < 10~2 при комнатной температуре для
большинства немагнитных металлов). Отметим зависимость Хр от плотности
состояний при энергии, равной энергии Ферми N (ц). Благодаря этому
восприимчивость %р меньше восприимчивости JT свободных спинов на
множитель 2kTN
Эффект де-Хааза - ван-Альфена нельзя так легко объяснить и понять; тем не
менее он тоже отражает зависимость термодинамических свойств металла от
плотности состояний. В этом случае плотность состояний подвергается
воздействию магнитного поля, и поэтому термодинамические функции будут
зависеть от поля. В целях иллюстрации рассмотрим волновые функции в
приближении свободного электрона
-fc = <Ж=гё-=-лЭ.- <16>
Эффективная масса т* может быть больше или меньше массы свободного
электрона т0 = 9,1 ¦ 10-28 г на один или более порядков величины.
Использованное здесь приближение эффективных масс может быть с успехом
применено для описания s-зон, но оно не приводит к реалистической
плотности состояний для с^-зон, как показано на фиг. 7.2, так что
последующий вывод можно считать недостаточно обоснованным.
В слабом электромагнитном поле, описываемом векторным потенциалом А (г,
t), импульсом электрона становится величина р - еА/с, и уравнение
Шредингера приобретает вид
(17)
СЛАБЫЕ МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
243
Для статического магнитного поля А (г) = (0, Нх, 0) не зависит от времени
и удовлетворяет двум уравнениям:
V ; А = (0, 0,Я) и _А^- = е(г,0=-0. (1S)
Следовательно, написав ф (г, t) = ei<-kv1J+kzz'1 cp (х) e~iEl/h, найдем,
что ф (х) подчиняется уравнению для гармонических осцилляторов, так что
полная энергия электрона определяется равенством
? = (" + y) ЙС°с' n = 0,i,2................ (19)
где сос - частота циклотронного резонанса; величина юс определена так:
сос = -^. (20)
0 т*с ' '
Задача 3. Выведите результаты (19) и (20), решив уравнение Шредингера
описанным образом.
Выражение для энергии может быть истолковано как результат квантования
классического кругового движения заряда в магнитном поле.
Плотность состояний получается дифференцированием функции, которая дает
полное число состояний, лежащих ниже энергии Е. Таким образом,
A 1(E) (m+l/2)fi(0c
N(E)~ J
т~ 1 0
ЩЕ)
~ 2 7-г 11 1 (21)
m=1 у Е-I т-\- I Лшс
где М (Е) - наибольшее положительное целое число, для которого выражение
под корнем положительно. График этой функции изображен на фиг. 7.3. Она
подобна плотности состояний свободных электронов N (Е) ~ Е1^, за
исключением узких интегрируемых корневых особенностей в точках, равных
полуцелым значениям циклотронной энергии Ъшс.
Наиболее интересно поведение плотности состояний вблизи энергии Ферми р
