Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
Е (к) = А - В (cos кха cos куа + ... +cos куа cos kza).
б) Выведите выражение Е (к) для s-зоны в случае гексагональной плотно
упакованной структуры.
ID-зона. В простой кубической структуре учет взаимодействия только
ближайших соседей не снимает трехкратного вырождения атомных орбиталей.
Мы запишем атомные функции в виде
фп(г) = гф(г), г/ф (г), ztf (г),
вместо того чтобы применить сферические функции от углов, например, введя
cos0 = z/a. Первый параметр
А = Н (0)п, п = ^ ахр* (г) Зёху (г) d3r одинаков для всех трех зон.
Второй параметр - В = ^ хц>* (| г + (0, 0, а) |) <$?axp (г) d3r =
= § 2/ф* (I г+ (0, 0, а) |) <$?г/ф (г) d3r, и, наконец, необходим третий
параметр
- С = (z + а) ф* (| г + (0, 0, а) |) (г) d3r.
Все другие интегралы можно получить из приведенных выше, за исключением
тех, для которых т Ф п\ последние равны нулю в силу симметрии, если
предположить, что перекрываются волновые функции только ближайших
соседей. Когда уравнение (6) для собственных значений гамильтониана
будет, наконец, решено, мы найдем три вырожденные зоны:
Ei (к) = А - 2В (cos кхаф cos киа) - 1C (cos кга), (9а)
Е2 (к) = А - 2В (cos куа + cos kza) - 2С (cos кха) (96)
и
Е3 (к) = А - 25 (cos kza - j- cos kxa) - 1C (cos kya). (9b)
Эти три р-зоны переходят друг в друга с помощью трех вращений
в к-пространстве, соответствующих перестановкам осей кх, ку, kz.
236
Таблица 7.1
Матричные элементы, входящие в уравнения (10) и (11) в приближении
сильной связи (LCAO) [11]
(Ф) Н (000)s,, + 2// (100)s> s (X + Г + Z) +
^AH(U0)s,s(XY + XZ + YZ) + 8II(m)SiSXYZ (six) 2iH (100),. xX - 4iH
(110),, xX(Y + Z) +
+ 8iH(ll[)s,xXYZ
(.slxy) -AH (1 Ю)я, XyXY - 8H (lll)s, XyXYZ
(six* - у*) УЗ H (001),, Зга-гг (X-Y) +
+ 2 УЗ H (110),, 3,.-r. (Y-X)Z (s/3*1 - гг) H (001),. 3,2-r2 (2Z - X-Y)
-
- 2H (110),, Зг*-г"( -2 XY + XZ + YZ)
(xlx) H (000)X,X + 2H (l00)x,xX+2H (m)u,y(Y+Z) +
+ 4H(W)x,xX(Y + Z) + 4H(0ii)x,xYZ + 4-8# (I'll)*, xXYZ (xly) -4Я(Ш),,
"Л?-8Я(111)11ИАУг
(xlxy) 2 iH (010),, xu Y -j- 4iff(l 10)*, XY +
+ 4t H (011),, xy 7Z + 8z Я (111 ),, xy YXZ (xlyz) -8iH(lil)XiyzXYZ
(Xlx*-y*) ]/3 itf(001),,3z.-r.X +
+ 2 УЗ г// (Oil),, зга-гг (XY + XZ) -f + 2LH(0i.i)ZiX^X(Y-Z)+8iH(m)X'Xz-
y2XYZ
(.xl3z*~r*) -iH( 001),,3l*-r*X-
- 2i# (0,11)^ 3.2_r2 X (У+ Z) +
+ 2 ^ 3 iH (011 )z, хг-уг X (Y - Z) -
- (8/ / 3) Я (111),, XYZ
(zl3z* - r*) 2iH (001),, зг2-,= Z + 4iH (011), 3l*-r. Z{X + Y) +
+ (ю/уз) i//(lllk X2-y*XYZ (xylxy) H (000),", + 2Я (100),", (X
+ Y) +
+ 2Я (001),", xyZ + 4H (110),ХУ +
+ 4Я (011 (X + У) Z + 8Я (111 ),". xy XYZ
237
Продолжение табл. 7.1
(xylxz) -4Я(011)1г/, " YZ - 8Я(111)^, xzXYZ
(xylx2 - y2) нуль
(xylSz'-r*) -4Я(110)1И1з*._^ХУ-8Я(111)ч,1 3z2_r *XYZ
(.xzlx*-y2) 2КгЗЯ(110)Ч)>311_г"^ +
+ 4/ЗЯ(111)ху, 322_rzZZy (zz/3z2 - г2) 2Я (110)*,, Зг2_г2 XZ + 4Я
(111)*у. 3z2_r2 XZy
(г2 - у21х2 - у2) Я(000)*+ 2' Я (001)* (X + У) +
+ 2Я (001)**([X + Iy + Z) + +зя(ио)*(х+У)г+ + 4Я (110)** (ХУ+ 4 XZ + ^yz)
+
+ 8Я(Ш)*хуг (3z2- r2/3z2- г2) Я(000)* + 2Я(001)* (\ x + ^-y+z) +
+ -|Я(001)**(Х + У) + + 4Я(110)* (xy + ixz + { yz) +
+ ЗЯ (110)** (,YZ + YZ) + 8Я (111)* XYZ (х2 - y2l3z2 - г2) 1 ^3
Я(001)*( -Х + У)-
- 1 /3 Я (001)** (-X + У) +
+ Я(И0)*(х-У)г->/'з я(ио)**(х-y)z
Пояснение: Звездочки имеют следующий смысл:
Л ILMN)* = Л (^МЛ)322_г2, Згг-гз; Л (LMiV)** = Я (LM/V):c2_1j2( х2-У2-
Замечание. Если предположить, что существуют взаимодействия только
ближайших соседей, то в случае простой кубической структуры остаются
только члены (100), (010) и (001). Для гранец'итриронаиной кубической
решетки остаются только (110), (011) и (101). Для обьелмог^емтрированной
решетки остается только (111).
Обозначения: X = cos hxa, X = sin hxa
У = cos V- Y = sin
Z = cos kza, Z - sin k a.
Постоянными параметрами зоны являются интегралы
Н (ЬЛШ)т, п = \ Чтп [г + " {L' М' W)] ^'п (г) d=r' где L' М' N = °' 1 ¦ '
¦ •
238
7. МАГНЕТИЗМ И МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
В каждой зоне поверхности постоянной энергии имеют симметрию ниже
кубической, и даже при малых к эти поверхности не сферы, а эллипсоиды
вращения с различными главными осями вдоль направлений кх, ку, кг.
Если бы мы выбрали оси квантования для трех р-функций вдоль осей,
отличных от кристаллических, внутризонные матричные элементы Н (0, 0,
а)", т для п Ф т не обращались бы в нуль столь удобным образом. Уравнение
(6), которое сохраняется для точных функций Ванье, должно в общем случае
быть г-мерным уравнением
Det || Н (k)", т -Яб", т || = О,
(10)
где г - число взаимодействующих зон; п, т = 1, 2г. Здесь мы использовали
трансляционную инвариантность, введя фурье-преобразование согласно
определению
(п/т) = tf(k)n>m = -^2 е1к'К°' ^ iSe^m,jd3r. (И)
j
В табл. 7.1 воспроизводятся результаты Слэтера и Костера, которые
вычислили эти матричные элементы с учетом третьей координационной сферы в
простой кубической структуре. Этого достаточно также для учета
взаимодействия ближайших соседей в гранецентрированных и
объемноцентрированных кубических структурах (и при некоторых ухищрениях
