Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
только определить соответствующие численные параметры и числа заполнении
в различных зонах. Так что нет необходимости рассматривать изоляторы и
металлы различным образом.
Сначала переформулируем теорию невзаимодействующих электронов, начиная с
оператора с,, П) т, который уничтожает электрон из гс-й зоны с проекцией
спина т (= f или j) в /-м узле Ванье [см. (4)]. Оператор, который создает
электрон в том же состоянии,- эрмитово сопряженный оператор c*t m.
Гамильтониан зонной теории (1) можно записать с помощью этих операторов:
(24)
Это графическое изображение "перепрыгивания" электрона из положения ; в
положение г; матричный элемент предварительно определен формулой (5) и
обнаруживает законы сохранения, обязанные функциям Ванье в настоящем
(одноэлектронном) приближении. Эти законы - законы сохранения проекции
спина и номера зоны (который можно также рассматривать как некий
"изотопический" спин); они гарантируют, что определение одноэлектронных
зон произведено хорошо.
Введенные выше ферми-операторы удовлетворяют обычным соотношениям
ак/пнкоммутации:
crcs + cscr = {сг, с5} = 0, {с?с*} = 0. (25)
Следовательно,
(Сг)з = (с*)2=0 и {crc*} = 6r,s
и оператор числа занятых состояний лг = с*сг имеет собственные значения
только 0 и 1, причем г или s отвечает любому набору квантовых чисел,
например (?, п, т).
Зонный гамильтониан диагоналей в блоховском представлении. Мы покажем это
с помощью канонического преобразования, кото-
0 - S Н n^i, п, mCj, п, т-
г, j, п; т
ОБМЕН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ: УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН &?Зфф 247
рое в свою очередь эквивалентно следующему выбору линейных комбинаций
операторов Ванье:
Операторы ск и ск также подчиняются соотношениям антикомму-тации,
аналогичным (25). Обратные линейные комбинации просто
для чего используем данное ранее определение энергии блоховско-го
электрона Еп (к).
Поскольку гамильтониан $?о диагоналей в представлении операторов Блоха
("ki п,т = 0 или 1); собственные состояния этого гамильтониана
определяются, если установить, какие состояния, обозначенные индексами к,
п, т, заняты, а какие нет. Например, состояние вакуума, т. е. состояние
без частиц, волновая функция которого | 0) характеризуется тем, что под
действием каждого оператора ск дает ск | 0) = 0; следовательно, лк | 0) -
- 0, и собственное значение гамильтониана (r)&'0, отвечающее этому
состоянию, должно быть также равно нулю. Более важная собственная функция
описывает ферми-вырожденпе *) - состояние, определенное таким образом,
что оно является состоянием с наименьшей энергией
-ik- н.
i с ¦
LI, п, т
(26)
к в 1-й З.Б.
е
п, т
(26а)
i it 1-И о.и.
Следовательно, подставив эти выражения в 3?0, получим
(27)
k, п, т
k, гг, 771
*) Состояние JJ;' электронов при Т - 0 (предельно вырожденный ферми-газ)
автор именует морем Ферми (Fermi sea). Мы вместо этого будем иногда
пользоваться термином "ферми-фон".- Прим. ред.
248
7. МАГНЕТИЗМ II МАГНОНЫ В МЕТАЛЛАХ
среди всех собственных состояний, содержащих точно Ж электронов. В
терминах энергии Ферми р (ниже которой имеется точно JT одноэлектронных
состояний к, п, т) ферми-вырождение можно записать в виде
= I]ciU,m|0), (28)
где в произведении фигурируют все с* со значениями к, п, т, для которых
Еп (к) < р (ср. стр. 146 и далее).
Собственное значение гамильтониана 3?0 в этом состоянии будет
"невозмущенной" энергией основного состояния W0
ц ц
W0 2 Еп (к) = J dEN (Е) Е, где JT = J dEN (Е) (29)
- ОО -оо
и где суммирование по к, /г, т опять проводится только по состояниям с
энергией, меньшей энергии Ферми. Объяснение того, каким образом
электронные взаимодействия изменяют ферми-фон и возмущают энергию
основного состояния, является главной целью теории магнетизма в металлах.
Одно из возможных результатов взаимодействия, а также теплового
возбуждения заключается в создании некоторого числа элементарных
возбуждений. Их можно построить, если переместит!" электрон из ферми-
фона, т. е. из состояний с энергией, меньшей р.
Ьр
Фиг. 7.5. Сфера Ферми радиуса kF.
Указаны элементарные возбуждения; алектрон перенесен в точку (k-fq),
осталась "дырка" в точке к.
выше, в одно из незанятых состояний. Например, если положить, что Ъ
отвечает набору квантовых чисел в пределах \ F), а а - набору квантовых
чисел за пределами \ F), то собственную функцию и энергию отдельного
элементарного возбуждения можно представить в виде
фаь == с*сь | F) и Wab = W0 + Ea-Eb. (30)
В качестве альтернативного описания (по сравнению с приведенным) можно
представить себе элементарные возбуждения (30) как создание двух
квазичастиц-, квазиэлектрона с энергией Еа - р
ОБМЕН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ: УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН <Й?Эфф 249
и квазидырки с энергией jx - Еь, которые добавляются к основному
состоянию. Энергия каждой квазичастицы, а также элементарного возбуждения
должна быть положительной (в силу определения основного состояния).
Энергетические уровни элементарных возбуждений занимают область
