Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
-у (cos^-f cos^ + cos?*)
Итак, объединяя этот результат с результатом (75), мы видим, что
связанные состояния существуют в интервале
п Кх ^ 0,516386 /ОП.
0<cos-j-а <2s+0,516386 (80)
при условии, что Кх = К у = К г. Результат таков: связанные состояния
существуют при 140°<; Аж а< 180° для s = Чг, при 157°< А'жа<180° для s =
1, при 167°<!Кха^С 180° для s = 2
13*
196 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
и т. д. По мере того как К возрастает, удаляясь от минимума, могут
появиться другие решения. Например, мы уже обнаружили, что имеются три
решения при Кха = Куа = К га = 180°, т. е. при максимальном волновом
векторе в положительном направлении. Область импульсного пространства, в
которой имеются связанные состояния, мала даже в наиболее благоприятном
для них
Фиг. 6.3. Участок зоны Бриллюэна, показывающий области решений при 0, 1,
2 или 3 связанных состояний для двух спиновых волн, s = 1/2.
Для s > i/a область, в которой решения отсутствуют, растет, а для s -*¦
со она занимает полную зону Бриллюэна.
случае спина, равного 1/2,- ситуация, резко отличающаяся от одномерного и
двумерного случаев. При.9^>- оо связанные состояния просто исчезают.
На фиг. 6.3 приведена схема областей с одним, двумя и тремя связанными
состояниями. Даже без подробных вычислений можно предположить, что вместе
с К возрастает не только энергия связи, но и полная энергия связанных
состояний, и, следовательно, (78) определяет минимальную энергию
связанного состояния в трехмерном случае.
Замечание: Об интеграле Ватсона
"... невероятно, чтобы кто-нибудь по доброй воле начал заниматься таким
интегралом. Действительно: ван-Пайп натолкнулся на этот интеграл, когда
занимался теорией анизотропии ферромагнетиков, основанной на теории
спиновых волн. Не будучи в состоянии вычислить его в замкнутом виде, он
обратился к графическому интегрированию. Тогда Крамере, руководитель
диссертации ван-Пайпа, поставил задачу... перед Фаулером, который передал
ее Гарди, после чего (цитируя Ватсона) "задача стала общеизвестна сначала
в Кембридже, а потом и в Оксфорде, откуда она без задержки перекочевала в
Бирмингам" [9].
ОДНОМАГНОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В МОДЕЛИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА 197
ОДПОМАГНОНПЫЕ СОСТОЯНИЯ В МОДЕЛИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГАЙТЛЕРА - ЛОПДОНА
Не следует предполагать, что гамильтониан Гейзенберга имеет тот же спектр
решений, что и гамильтониан Гайтлера - Лондона, а причина этого лежит в
неортогональности электронных волновых функций, используемых в этой
теории. Поскольку этот вопрос уже обсуждался в гл. 2, то мы рекомендуем
читателю вернуться к ней для дальнейших уточнений, а сейчас приступим к
вычислению одномагнонных собственных состояний в модели Гайтлера -
Лондона. В принципе это сделать просто, так как ввиду трансляционной
симметрии собственные функции представляют собой плоские волны. Ниже мы
получим уровни энергии как функции параметров взаимодействия и
нормировки.
Предположим, что на каждом из N узлов, обозначенных Ri: имеется одиночный
неспаренный электрон, и базисом являются функции, записанные в виде
произведения
N
Ц{ти ..., mN) Д ср(г,- Rj)Xm;(y, (81)
3=1 1
где г;- - пространственные, а ^ - спиновые координаты электрона, 2'v
значений nij ( ± 1/2) дают то же число степеней свободы, что и модель
Гейзенберга. При оценке энергии, нормировки и т. д. должны быть
использованы полностью антисимметричные волновые функции
?=~Vm ^ - т*)¦ (82)
З3
Мультипликативную функцию, описывающую полностью намагниченное состояние,
обозначим через ф0
ф0^ф(_±............-|) , (83)
а состояние с одним перевернутым спином - через ф,
фг = ^ф0. г = 1, (84)
и используем те же индексы для соответствующих полностью
антисимметризованных (детерминантных) волновых функций и 'Ф,-,
построенных из приведенных выше с помощью правила (82). Функции Wi не
образуют ортонормированной системы из-за перекрытия одноэлектронных
волновых функций. По этой причине вариационный принцип приводит не к
обычному уравнению Шре-
198 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
дингера, а к уравнению, включающему матрицу перекрытия Я, SBi 1/1 + S
№и11 = Е{Ри11 + Ъ Qijfj). (85)
Собственные функции были выбраны такие:
0 = 2/1^. (86) г
Матричные элементы гамильтониана имеют вид
seij=\dx4*im'?i, (87)
а матричные элементы перекрытия просто
Яи = [ dxWtWj. (88)
t)
Оба интегрирования включают суммирование по спиновым переменным.
По предположению(c)^ зависит только от пространственных координат и
трансляционно инвариантен. Поэтому оба набора матричных элементов зависят
от i и / только через относительное расстояние R;;, и уравнение можно
решить, если положить
Д=е*к*. (89)
Следовательно, собственное значение энергии одномагнонного состояния Е
(к) есть просто отношение
у. d"jie,k'R^ ж/Ь)
<*>
Отсчитывая эту энергию от ферромагнитной энергии (при к = 0), находим
Р/..1 F/m Р(0)[ДР(к)->Pg(0)l-ДР(0)[Р(к) -0(0)] Дк"+ 0(к*)
О (0) [О (0) +(О (к)-0(0))] ~ 1 + 0 (к*) '
