Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
СВЯЗАПНЫЕ СОСТОЯНИЯ. ДВУМЕРНЫЙ И ТРЕХМЕРНЫЙ СЛУЧАИ
Результаты, полученные Вортисом [4] в двумерном случае, показывают, что
есть по меньшей мере одно связанное состояние ниже области непрерывного
спектра для всех К, а для некоторых К возможны и два связанных состояния.
В трехмерном случае установлено отсутствие каких-либо связанных состояний
для малых К. Связанные состояния появляются только при достаточно больших
значениях К. При этом их одно, два или максимум три. Это - наиболее
важный результат, так как отсутствие связанных состояний в существенной
области К дает некоторую уверенность в том, что линейная теория спиновых
волн справедлива для случая трех измерений, хотя линеаризация не
оправданна ни в одномерном, ни в двумерном случае.
Прежде чем рассматривать область малых К, которая из-за
низкорасположенных энергий спиновых волн и связанных состояний имеет
большое значение в термодинамике, исследуем сначала особый случай, когда
все компоненты К равны л /а - максимально возможному значению, при
котором
Кх ку Кг л п
cos -а = cos -- а = cos а - cos -у- = О,
и все интегралы в уравнении для собственных значений становятся
тривиальными. Поскольку все знаменатели теперь постоянные, то все
недиагональные матричные элементы Мх< у, определенные выражением (66),
обращаются в нуль, тогда как все диагональные элементы равны друг другу.
Следовательно, связанное состояние будет вырождено с кратностью, равной
z/2. Заметим, что область непрерывного спектра стягивается к одной точке
Уп = Уп (q) = E0 + 2g\iBH + 2sJz, (74)
поэтому интегральное уравнение сводится к алгебраическому. Ясно, что
энергия связанного состояния [решение (67)1
E = yn - J. (75)
Связанное состояние представляет собой комплекс из двух перевернутых
спинов, являющихся ближайшими соседями; вырождение связано с тем, что
существует z/2 различных направлении, по которым пара спинов может
оказаться ближайшими соседями.
13 д. Маттис
194 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
Существование по крайней мере одного связанного состояния для каждого
значения К в двумерном случае гарантировано поведением различных
интегралов вблизи точки q = 0. Обозначим энергию наинизшего состояния из
непрерывного спектра через ?мин, тогда интегрирование в окрестности точки
q = 0 дает вклад порядка
Р Числитель 7
с некоторой положительной константой D и не равным нулю числителем. Этот
вклад как функция Е колеблется от нуля до -оо по мере того, как Е
изменяется от -оо до Етт и в пределе Екпн -Е s 8Е -> 0 ведет себя как "
log 8Е. Таким образом, даже не прибегая к точному вычислению, можно
показать, что "энергия связи" бЕ будет экспоненциально зависеть от
различных параметров. Действительно, для Кх = Ку т 0 Вортис получил
бe-zitsc/1-c
где С = cos (KJ2) а, а для более общего значения К он вычислил энергию
связи с помощью различных эллиптических интегралов.
Возвращаясь к более реальному трехмерному случаю, для которого нельзя
аналитически оценить интегралы, можно показать, что удобнее представить
их, используя метод преобразования Лапласа. Так, заменив
оо
±=\dte-"
о
и воспользовавшись определением функции Бесселя от мнимого аргумента (см.
гл. 8)
Л
In(z)--^ ^ ezcos*cos nxdx, a
можно вместо трехмерных интегралов написать быстросходящиеся одномерные.
Но для определения порога существования связанных состояний эти
подстановки не требуются.
Для этого можно положить Кх = К у - К г, что соответствует наинизшей
границе непрерывной области и, более вероятно, что именно в этом, а не в
менее симметричном направлении возникнет связанное состояние. В этом
случае все три диагональные матричные элементы Mi:; равны, а
недиагональные элементы также равны друг другу. Расписывая детерминант,
получаем уравнение для собственных значений
(1 ~МХ,Х-2Мх,и) (1 -Мх, х + Мх, у)* = 0.
(76)
СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ДВУМЕРНЫЙ И ТРЕХМЕРНЫЙ СЛУЧАИ 195
Решение, отвечающее наинизшему собственному значению, является простым
корнем, т. е. корнем уравнения
1 - Мх, х + 2Л/Ж> у =
2j ^ cos qxa [3 cos (Кх/2) а - cos qxa - 2 cos qya]
= N =
q E0 - E0 - 2g[iBH - 12s7+4s7 [cos ?жа+сов 7Ha-fcos9za]cos (KXI2) a
_ E - E0 - 2g\iBH-i2sJ sin*(Kx/2)a ~ 2As*J cos2 (KXJ2) a
fl E - E0-2g\iBH - I2sj ^ 1 1 /77%
*L N ^ E-yK(q) J ' (U>
4
Чтобы прийти к последнему упрощенному выражению, мы воспользовались
только кубической симметрией и равенством трех компонент вектора К.
Порог, за которым появляются связанные состояния, оказывается при таких
К, при которых Е опускается ниже ук (0) - границы области непрерывного
спектра. Это наблюдается при
Е = Е0 -f- 2g\iBH -f 24sJ sin2 а =
= Е0 + 2 giiBH + 24s2 / (2s -f 0,516386)-1. (78)
Второй строчкой мы предвосхитили формулу (80).
Заменяя в (77) обычным образом сумму интегралом, мы используем первую
строчку, чтобы определить значение порога Кх
1 = 77* + c-^(*f)a (1-W), (79)
2scos(Kx/2)a v п v 9
где W - интеграл Ватсона (см. Замечание в конце раздела):
VF = ^V\\ \ -------------;------dq_xdqydqz------------- = 1,516386.
