Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
/т,
X = 2щ + (•?-)- El4) ®2 + (х3 + Sti) + / , —5“ (xi x)i
Pi
з ,
У — — 2<ож + (у + t]Li) (0а — (у3 + t]l4) Q2 -)- —— (уі у), (1.2)
Ы р?
З .
z = — z3Q2 + V —(Zi — z),
Ы р*
где Р? = (Xi — а:)2 + (yt — і/)2 + (z? — z)2; і = 1, 2, 3; й —
угловая скорость движения центра масс Земли и Луны вокруг
Солнца, / — универсальная гравитационная постоянная, индексы
1, 2 и 3 относятся к Земле, Луне и Солнцу соответственно. Точкой в уравнениях (1.2) обозначено дифференцирование по времени.
Во вращающейся системе координат L4xyz положения Земли и Луны фиксированы и координаты Солнца вычисляются по формулам
х3 = R (cos г|з cos 0 + cosi sin г|з sin 0) —
у3 = — R (cos г|з sin 0 — cos і sin г|з cos 0) — т^, (1-3)
z3 = і? sin г|з sin і.
Здесь R — расстояние между Солнцем и центром масс Земли и Луны, а і — наклонение плоскости орбит Земли и Луны к плоскости эклиптики.
Угловые положения Солнца и линии Земля — Луна по отношению к точке весеннего равноденствия задаются соответственно величинами г|з и 0. Угол 0 отсчитывается в плоскости орбит Земли и Луны, а угол ip — в плоскости эклиптики. Соотношения, определяющие и 0, имеют вид
г|> = Ш + 1|>0, 0 = wf + 0О, (1.4)
где г|з0 и 0О — начальные значения углов г|з и 0.
При проведении численных расчетов были использованы следующие значения для постоянных задачи:
т! = 5,97465-1024 кг, т2 = 7,32814-1022 кг,
т3 = 1,98649-1030 кг, / = 6,68029-Ю"20 км3/кг-сек*,
Q = 1,99082-10~7 рад/сек,
R = 1,49530-106 км, і = 5°9' и расстояние между Землей и Луной принималось равным 3,85147 • 10б км. При этих значениях постоянных расчетная угловая скорость о системы координат L4xyz равна 2,665075637-10рад!сек.
240
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ U (ГЛ. 13
Результаты численного интегрирования уравнений движения
(1.2) представлены на рис. 28 — 39. Точки на этих рисунках разделяют интервалы в один синодический месяц. На рис. 28 и 29 показана проекция на плоскость L^xy траектории КА за период времени в 2500 сут. В начальный момент времени КА помещен в точку либрации с нулевой относительной скоростью, а Солнце лежит на линии Земля — Луна, т. е. на рис. 27 г|)0 = 0 и 0О = 0. Рис. 28, а — г показывают, что с течением времени КА все дальше и дальше уходит от точки либрации. Но эта тенденция меняется на обратную примерно через 850 сут от момента начала движения. Из рис. 29, а — г видно, что постепенное приближение КА к точке либрации происходит вплоть до момента времени, равного приблизительно 1460 сут. С этого момента в движении КА наблюдается тенденция к удалению от точки либрации. Интересно отметить, что минимальное расстояние КА от L4 равно при этом приблизительно 24 000 км, а достигнутое ранее (в момент времени, приблизительно равный 850 сут) наибольшее удаление КА. от L4 равно примерно 190 000 км. Рис. 29, д — з показывают, что удаление КА от L4 происходит до момента времени, приблизительно равного 2260 сут. С этого момента вновь начинается постепенное приближэние КА к L4. Из приведенных численных результатов следует, что на интервале времени в 2500 сут тенденция КА к сближению с L4 и удалению от L4 меняется с периодом, равным приблизительно 1400 сут или 4 годам. Максимальное удаление КА от Li равно 190 000 км, причем из рис. 28, г и 29, а видно, что при достижении этого расстояния КА движется по почти замкнутой орбите с периодом, близким одному синодическому месяцу.
На рис. 30 и 31 представлены зависимости величин смещения г и скорости v КА от времени. В обеих зависимостях, в отличие от рис. 28 и 29, учитываются z-компоненты вектора смещения и вектора скорости, так что г (t) — х2 + у2 + z2 и v (t) = = ]ґх2 + у,2 + і2. Видно, что ординаты огибающих кривых г (t) и v (t) сначала возрастают, а затем (примерно после 850 сут) убывают. Таким образом, включение z-компоненты в величины г (?) и v (t) не изменяет отмеченного выше характера движения: КА приближается к точке либрации и удаляется от нее с периодом, приблизительно равным 4 годам.
Интересной задачей является задача выбора такого начального положения КА и его скорости, а также начального положения Солнца, чтобы траектория движения была в некотором смысле «наилучшей», т. е. важно так определить начальные условия, чтобы на заданном интервале времени отклонение КА от точки либрации было наименьшим. Никакой общей] теории по этому вопросу нет. В работах [176, 177] приведены результаты отдельных
Рис. 28. Траектория КА, помещенного в точку L% с нулевой относительной скоростью, в случае 0О = 0° и г|з0 — 0°:
а) 0 < і < 250, 6) 250 500, в) 500 < і < 750, г) 740 < і < 877 (і в сут).
§ 1] ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
to
tts
to
Рис. 29. Траектория КА, помещенного в точку L4 с нулевой относительной скоростью, в случае 0О = 0°, г|э0
= 0°: а) 877 ^ г < 1000, б) 1000 ^ t ^ 1250, в) 1250 ^ t ^ 1500, г) 1500 < t < 1750.
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 13-
Рис. 29. Траектория КА, помещенного в точку L4 с нулевой относительной скоростью, в случае 0О = 0°,
to = 0°: д) 1750 < t < 2000, е) 1990 < t < 2131, ж) 2131 < t < 2250, з) 2240 < t < 2500 (г в сут).
