Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Результаты исследования нелинейной устойчивости периодических движений I, II и III типов сведены в табл. 18.
Таблица 18
1 Значение n=n/v, при котором — аг, С) = 0 Значение ц., при котором D3 = 0 Значение щ при котором D* = 0 Интервалы формальной устойчивости
1 0,02335... 0,03011... 0,02809... 0 < р. < 0,023354... 0,028108.. .< \i < 0,038521...
2 0,02374... 0,01548... 0,01894... 0 < н- < 0,018938... 0,023375...<Ц< 0,038521...
3 — 0,02152... — 0,024294... < \i < 0,038521...
Из табл. 18, в частности, видно, что ни для одного типа периодических движений пространственной задачи определители D3 и Dі ни при каких значениях |х одновременно в нуль не обращаются и, следовательно, при всех нерезонансных значениях параметров |х, є из области устойчивости линейной системы все периодические движения пространственной задачи будут устойчивы для большинства начальных условий.
Результаты исследования устойчивости периодических движений I, II и III типов показаны на рис. 24, 25 и 26 соответственно
234
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
(в плоскости параметров fi, е). Кружками на оси 0\i изображены такие значения параметра (і, для которых из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле не следует существование периодических движений. На рис. 24 — это точки fi = 0 и (і = fi*, на рис. 25 — это, кроме того, значения fi, удовлетворяющие соотношению (2.7)г а на рис. 26 — это точка fi = 0. Области параметрического резонанса (области неустойчивости линейной системы) на рис. 24— 26 заштрихованы наклонной штриховкой. Штриховыми линиями изображены резонансные кривые, на которых соответствующие периодические движения неустойчивы. «Устойчивые» резонансные кривые изображены сплошными линиями, а кривые, на которых имеет место формальная устойчивость, — штрих-пунктирными линиями. Области формальной устойчивости из табл. 18 на рис. 24, б, 25, б и 26 заштрихованы вертикальной штриховкой.
Выше были описаны результаты, полученные только на основе анализа членов до Нъ* включительно в разложении (4.2). Однако в рассматриваемой задаче можно получить более полные результаты. Укажем на некоторые из них.
Остановимся сначала на резонансных случаях. Для этого сравним вторые столбцы табл. 10 -14 и табл. 15 —17; рассмотрим подробнее те резонансы из табл. 10 — 14, которые не попали в табл. 15 — 17.
Из резонансов, являющихся порождающими (на оси Ofi) для областей неустойчивости линейной системы, это только резонансы 2co! = N(a2, где N > 5 (в плоской и пространственной задачах), и 2 = N(t)2, где N > 4 (в пространственной задаче), для периодических движений II типа. Из соответствующих этим резонансам точек на оси Ofi будут исходить очень узкие области неустойчивости (вообще говоря, области тем уже, чем больше N), которые при приближении к оси Or сгущаются и перемежаются с областями устойчивости в линейном приближении. Согласно формулам (8.27), границы этих областей параметрического резонанса мало отличаются от квадратичных парабол, а подсчитанные для них величины 6 из (8.28) при достаточно малых fi будут принимать только отрицательные значения; следовательно, все параболы «загнуты» к оси Ое при достаточно малых fi и е.
Далее, соотношения (9.5) и табл. 10 — 14 позволяют построить в плоскости параметров (і, є все возможные резонансные кривые третьего и четвертого порядков, как бы соответствующие им числа N ни были велики. Для резонансов (9.4) с числами nt, nf разного знака сразу же можно сделать заключение о формальной устойчивости.
При решении вопроса об устойчивости для оставшихся резонансов третьего порядка дополнительных вычислений можно не производить, так как маловероятно, что соответствующие этим резонансам величины Л из (10.1) обратились в нуль; следовательно,
§ 11]
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
235
а)
зя^-га, щ-=-з: 52г=-2,
qpi
2kg- Я/
цог рн
ЦОЇ
и
Рис. 24. Результаты исследования устойчивости периодических движений I типа: а) плоская задача, 6) пространственная задача.
Рис. 25. Результаты исследования устойчивости периодических движений II типа: а) плоская задача, 6) пространственная задача.
аг+злг=о q,+22z=o л,-гаг=щ щ=-га3
і і ' і
«,______________________ I____________________|_________ІлІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІіПІІІІІІІ». | . р
0,01 0,02 0,03 ft* OfH
Рис. 26. Результаты исследования устойчивости периодических движений
III типа.
236
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
при этих значениях параметров ц, е (при достаточно малых є), как правило, будет иметь место неустойчивость.
При малых значениях є для исследования устойчивости на резонансных кривых четвертого порядка достаточно вычислить величину Ж (— N, nt, rij) и убедиться в том, что эта величина не обращается в нуль (то, что она может обратиться в нуль,— маловероятно). Тогда можно утверждать, что при соответствующих значениях параметров в плоской задаче будет устойчивость, а в пространственной задаче — устойчивость в четвертом приближении.
В плоской задаче для тех нерезонансных значений ц, при которых не выполнено условие (10.8) (см. второй столбец табл. 18), можно продолжить исследование устойчивости и учесть в разложении (4.2) члены шестого порядка. Это даст возможность найти коэффициенты формы третьего порядка относительно г і, Гі :
